(教参)第12章 12.3 角的平分线的性质-【提分教练】2022-2023学年八年级数学上册同步(人教版)

12.3　角的平分线的性质 学习 目标 1．会用尺规作图作一个角的平分线，知道作法的理论依据． 2．掌握并能证明角的平分线的性质和判定，并能运用角的平分线的性质和判定解决相关问题． 3．通过作三角形的角平分线，了解三角形的三条角平分线交于一点的事实. 素养 目标 通过让学生经历观察演示，动手操作，自主探究等过程，提高学生的动手及反思归纳的能力. 一、作已知角的平分线 已知：∠AOB，求作：∠AOB的平分线． 作图步骤： (1)以点O为圆心， 适当长 为半径画弧，交OA于点M，交OB于点N. (2)分别以 点M，N 为圆心，　大于MN　的长为半径画弧，两弧在∠AOB的内部相交于点C. (3)画 射线 OC， 射线 OC即为所求． 想一想 为什么要以大于MN的长为半径画弧？ 解：以小于或等于MN的长为半径画弧，两弧没有交点． 如图，用直尺和圆规作∠AOB的平分线OE，其理论依据是 全等三角形，对应角相等 ． 二、角平分线的性质 角的平分线上的点到 角的两边 的距离相等． 三、证明一个几何命题的一般步骤 一般情况下，我们要证明一个几何命题时，可以按照下面的步骤进行： (1)明确命题中的 已知 和 求证 ； (2)根据题意， 画出图形 ，并用符号表示已知和求证； (3)经过分析，找出由已知推出要证的结论的途径，写出证明过程． 四、角的平分线的判定 角的内部到 角的两边 的距离相等的点在角的平分线上． 1．如图，点P是∠AOB平分线OC上一点，PD⊥OB，垂足为D，若PD＝2，则点P到边OA的距离是 2 . 解析：过P作PE⊥OA于点E，根据角平分线的性质得PE＝PD＝2. 2．如图，点P在∠AOB内，因为PM⊥OA，PN⊥OB，垂足分别是M，N，PM＝PN，所以OP平分∠AOB，理由是 角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上 . 　角的平分线的性质和判定的应用 如图，在△ABC中，∠ABC的平分线与∠ACB的外角平分线交于点P，PD⊥AC于点D，PH⊥BA于点H. 探究1：若PH＝8 cm，求点P到直线BC的距离； 解：如图，作PQ⊥BE于点Q， ∵BP平分∠ABC，PH⊥BA，PQ⊥BE， ∴PH＝PQ＝8 cm， 即点P到直线BC的距离为8 cm. 探究2：点P在∠HAC的平分线上吗？请说明理由． 解：点P在∠HAC的平分线上．理由如下： ∵CP平分∠ACE，PD⊥AC，PQ⊥CE， ∴PD＝PQ. 由探究1知PH＝PQ， ∴PD＝PH， ∴点P在∠HAC的平分线上． 1．如图，△ABC的外角∠MBC，∠NCB的平分线交于点P.求证：点P在∠BAC的平分线上． 证明：如图，过点P作PD⊥AM于点D，PE⊥BC于点E，PF⊥AN于点F. ∵BP，CP分别是△ABC的外角∠CBM，∠BCN的平分线， ∴PD＝PE，PF＝PE， ∴PD＝PF， ∴点P在∠BAC的平分线上． 2．如图，在△ABC中，点D在边BC上，∠BAD＝100°，∠ABC的平分线交AC于点E，过点E 作EF⊥AB，交BA的延长线于点F，且∠AEF＝50°，连接DE. (1)求∠CAD的度数； (2)求证：DE平分∠ADC； (3)若AB＝7，AD＝4，CD＝8，且S△ACD＝15，求△ABE的面积． (1)解：∵EF⊥AB，∠AEF＝50°， ∴∠FAE＝90°－50°＝40°. ∵∠BAD＝100°， ∴∠CAD＝180°－100°－40°＝40°. (2)证明：如图，过点E分别作EG⊥AD于点G，EH⊥BC于点H， ∵∠FAE＝∠DAE＝40°，EF⊥BF，EG⊥AD， ∴EF＝EG. ∵BE平分∠ABC，EF⊥BF，EH⊥BC， ∴EF＝EH， ∴EG＝EH. ∵EG⊥AD，EH⊥BC， ∴点E在∠ADC的平分线上，即DE平分∠ADC. (3)解：∵S△ACD＝15， ∴AD·EG＋CD·EH＝15， 即×4×EG＋×8×EH＝15， 解得EG＝EH＝， ∴EF＝EH＝， ∴S△ABE＝AB·EF＝×7×＝. 知识点1　作已知角的平分线 (1)角的平分线的作法 ①折叠法：将已知角折叠，使角的两边重合，折痕就是角的平分线所在的直线． ②度量法：用量角器度量已知角的度数，再除以2，然后用量角器画出这个角的平分线． ③尺规作图法． (2)尺规作图：作一个角的平分线的步骤与图示 已知∠AOB.求作：∠AOB的平分线． 作法：①以点O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于点M，交OB于点N. ②分别以点M，N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧在∠AOB的内部相交于点C. ③画射线OC.射线OC即为所求(如图)． 【考点诠释】 1．“以适当长为半径画弧”的目的是方便作图，不能太长也不要太短； 2．“画射线OC