专题02 二次函数与一元二次方程重难点题型专训-2023-2024学年九年级数学上册重难点专题提升精讲精练（沪科版）

专题02 二次函数与一元二次方程重难点题型专训 【题型目录】 题型一 求抛物线与x、y轴的交点坐标 题型二 由二次函数解一元二次方程 题型三 由二次函数的图象求不等式的解集 题型四 抛物线交点问题的综合 题型五 根据二次函数图象确定相应方程根的情况 题型六 求x轴与抛物线的截线长 【知识梳理】 知识点：二次函数与一元二次方程 1.当二次函数的图象与x轴有两个交点时，，方程有两个不相等的实根。 2.当二次函数的图象与x轴有且只有一个交点时，，方程有两个相等的实根。 3.当二次函数的图象与x轴没有交点时，，方程没有实根。 二次函数的图象与轴的位置关系有三种情况:①没有公共点;②有一个公共点;③有两个公共点，这对应着一元二次方程的根的三种情况: ①有实数根，此时△＜0;②有两个相等的实数根，此时△=0;③有两个不相等的实数根，此时△＞0. (2)解决函数图象过定点问题，一般方法是函数解析式中所含字母的项的和为0时，则函数值不受字母的影响，据此可求图象经过的定点坐标. (3)抛物线中三角形面积的最值问题，一般先设出动点的坐标，然后用其表示相关线段的长度，再利用三角形的面积公式构造新的函数关系式来确定最值.在将点的坐标转化为线段的长度时，要注意符号的转换. 知识点：二次函数与不等式 判别式 抛物线与x轴的交点 不等式的解集 不等式的解集 △＞0 或 △＝0 （或） 无解 △＜0 全体实数 无解 【经典例题一 抛物线与x、y轴的交点坐标】 【例1】（2022秋·福建宁德·九年级校考期末）对于二次函数，当时，函数图像与x轴有且只有一个交点，则以下不满足题意的a值为（    ） A． B． C． D． 【变式训练】 1．（2022秋·浙江衢州·九年级校考阶段练习）由于被墨水污染，一道数学题仅能见到如下文字：已知二次函数的图象过点(1，0)……求证这个二次函数的图象关于直线对称，根据现有信息，题中的二次函数一定不具有的性质是（    ） A．过点(3，0) B．顶点是(-2，2) C．在轴上截得的线段的长是2 D．与轴的交点是(0，3) 2．（2023·安徽芜湖·校联考模拟预测）已知关于的二次函数（，为常数，且，）的图象与轴交于，两点．请完成下列问题： （1）线段的长为___________． （2）若该二次函数的图象的顶点为，且与轴的正半轴交于点．当时，的值为___________． 3．（2023·河南新乡·统考三模）已知抛物线与轴交于、两点，点在点的左侧． (1)请求出抛物线对称轴和点A、B的坐标； (2)已知点、，且抛物线与线段只有一个公共点，请求出的取值范围． 【经典例题二 由二次函数解一元二次方程】 【例2】（2023秋·山东淄博·九年级校考期末）已知二次函数 （a，k，h均为常数）的图象与x轴的交点的横坐标分别为和5，则关于x的一元二次方程的两个实数根分别是（    ） A． B． C． D． 【变式训练】 1．（2022秋·湖北武汉·九年级湖北省水果湖第一中学校考期中）抛物线的图象经过点，则关于x的一元二次方程的解是（    ） A． B． C． D． 2．（2023·吉林长春·统考一模）在平面直角坐标系中，抛物线经过点．若关于的一元二次方程（为实数）在的范围内有实数根，则的取值范围为______. 3．（2023·湖北黄石·统考一模）阅读材料： 材料1．已知实数m、n满足，且，求的值． 解：由题意知m、n是方程的两个不相等的实数根，得， ∴ 材料2．如图，函数的图像，是一条连续不断的抛物线，因为当时，；当时，．可知抛物线与x轴的一个交点的横坐标在0与1之间． 所以方程的一个根所在的范围是． 根据上述材料解决下面问题：    (1)已知实数m、n满足，，且，求的值． (2)已知实数p、q满足，，，且，求的值． (3)若关于x的一元二次方程的一个根大于2，另一个根小于2，求m的取值范围． 【经典例题三 由二次函数的图象求不等式的解集】 【例3】（2022·内蒙古呼和浩特·校考一模）已知关于的一元二次方程的一个根为，二次函数的图象的顶点坐标为，则关于的不等式的解为（   ） A．或 B．或 C． D． 【变式训练】 1．（2023·山东东营·统考一模）如图，抛物线和直线都经过点，抛物线的对称轴为，那么下列说法正确的是（    ） A． B． C． D．是不等式的解 2．（2023·上海普陀·统考二模）抛物线开口向上，且过，下列结论中正确的是_________（填序号即可）． ①若抛物线过，则； ②若，则不等式的解为； ③若，、为抛物线上两点，则时； ④若抛物线过，且，则抛物线的顶点一定在的下方． 3．（2023·广东深圳·深圳市福田区北环中学校考二模