预习课10 椭圆（讲+练）-【暑假教程】2023年高一升高二数学暑假复习+预习（人教A版2019选择性必修第一册）

预习课10 椭圆 1 椭圆的定义 平面内与两个定点的距离之和等于常数(大于)的点的轨迹称为椭圆． 这两个定点称为椭圆的焦点，两焦点的距离称为椭圆的焦距. 如图：是椭圆上一点. 解释 点的轨迹是以、为焦点的椭圆； 点的轨迹是线段； 点的轨迹是无轨迹. 【例】点到两定点，的距离之和为，则动点的轨迹是什么？ 2 椭圆的标准方程 焦点在轴上的椭圆方程为；焦点在轴上的椭圆方程为. 解释 (1) 椭圆标准方程的证明 椭圆具有对称性，以经过椭圆两焦点的直线为轴，线段的中垂线为轴，建立平面直角坐标系， 设是椭圆上任意一点，椭圆的焦距为，那么焦点，， 根据椭圆定义可得，则， 所以， 两边平方得， 整理得， 两边平方得， 整理得， 两边同除以得， 即动点的轨迹椭圆对应的方程是. 由椭圆定义可知，即，所以. 令，(为椭圆与轴交点与原点的距离) 则我们称为椭圆的标准方程. (焦点在轴上的椭圆类似证明) 【例】点到两定点，的距离之和为，求动点轨迹方程. (2)对于方程， 当，，且时，方程表示的轨迹为椭圆；(若，则方程表示圆) 当时，方程表示的轨迹为焦点在轴的椭圆； 当时，方程表示的轨迹为焦点在轴的椭圆； (由椭圆方程判断焦点的位置与的值，我们看分母的大小) 【例】椭圆方程，其焦点在轴还是轴，，，的值又是多少呢？ 3 焦点三角形 ，是椭圆的焦点，点在椭圆上，且与、不共线，则三角形叫做焦点三角形. 在题目出现焦点三角形，可想到椭圆定义和解三角形的相关知识. 4 椭圆的几何性质 焦点的位置 焦点在轴上 焦点在轴上 图形 标准方程 范围 且 且 顶点 轴长 短轴长长轴长 焦点 焦距 的关系 离心率 注 离心率越小，椭圆越偏平. 如下图，，则越小，越小，越小，椭圆越偏平. 【例】求椭圆的长轴长、短轴长、离心率、焦点坐标和顶点坐标． 【题型一】 椭圆的定义 【典题1】 下列说法中正确的是(　　)． A．已知，，到两点的距离之和等于的点的轨迹是椭圆 B．已知，，到两点的距离之和为的点的轨迹是椭圆 C．到，两点的距离之和等于点到的距离之和的点的轨迹是椭圆 D．到，两点距离相等的点的轨迹是椭圆 变式练习 1.已知命题甲：动点到两定点，的距离之和，其中为大于的常数；命题乙：点轨迹是椭圆，则命题甲是命题乙的(　　)． A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 2.已知定点，且，动点满足，则动点的轨迹是(　　)． A．椭圆 B．圆 C．直线 D．线段 【题型二】 椭圆的标准方程 【典题1】 已知方程表示焦点在轴上的椭圆，则的取值范围是(　　)． A． B． C． D． 【典题2】 椭圆的两个焦点坐标分别是，，且过点，求椭圆的标准方程. 变式练习 1.已知方程1表示焦点在轴上的椭圆，则的取值范围是　 　． 2.椭圆上一点到其一个焦点的距离为，则到另一焦点的距离为__________． 3.经过两点的椭圆的标准方程为　 　． 4.点在焦点为和的椭圆上，若面积的最大值为，则椭圆标准方程为　 　． 【题型三】 椭圆的简单几何性质 【典题1】 在中，，，若以、为焦点的椭圆经过点，则椭圆的离心率为　　． 【典题2】直线经过椭圆1的左焦点，交椭圆于两点，交轴于点，若，则该椭圆的离心率是(　　) A． B． C．2 D． 变式练习 1.已知椭圆的标准方程为1，下列说法正确的是(　　) A．椭圆的焦点在轴上 B．椭圆的焦距为 C．椭圆的离心率为 D．椭圆的右顶点坐标为 2.已知焦点在轴上的椭圆的离心率为，则______． 3.在等边中，若以，为焦点的椭圆经过点，则该椭圆的离心率为　　． 4.已知分别是椭圆：的左、右焦点，为直线上一点， 若是底角为的等腰三角形，则椭圆的离心率为　　． 5.点是椭圆上一点，分别是该椭圆的左、右焦点，若，则的面积是　　 ． 【A组---基础题】 1.设为定点，动点满足，则动点的轨迹是(　　) A．椭圆 B．直线 C．圆 D．线段 2.已知椭圆上的一点到椭圆一个焦点的距离为，则点到另一个焦点的距离为(　　) A．2 B．3 C．5 D．7 3.若焦点在轴上的椭圆的离心率为，则(　　) A． B． C． D． 4.是椭圆的左、右焦点，点在椭圆上，，过作的角平分线的垂线，垂足为，则的长为(　　) A． B． C． D． 5.在中，，