第07讲 实数（4种题型）-【暑假预习】2023年新八年级数学核心知识点与常见题型通关讲解练（北师大版）

第07讲 实数（4种题型） 【知识梳理】 一．实数 （1）实数的定义：有理数和无理数统称实数． （2）实数的分类： 按定义分： 实数 按与0的大小关系分： 实数 二．实数的性质 （1）在实数范围内绝对值的概念与在有理数范围内一样．实数a的绝对值就是在数轴上这个数对应的点与原点的距离． （2）实数的绝对值：正实数a的绝对值是它本身，负实数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0． （3）实数a的绝对值可表示为|a|＝{a（a≥0）﹣a（a＜0），就是说实数a的绝对值一定是一个非负数，即|a|≥0．并且有若|x|＝a（a≥0），则x＝±a． 实数的倒数 乘积为1的两个实数互为倒数，即若a与b互为倒数，则ab＝1；反之，若ab＝1，则a与b互为倒数，这里应特别注意的是0没有倒数． 三.实数与数轴上的点的关系 （1）实数与数轴上的点是一一对应关系． 任意一个实数都可以用数轴上的点表示；反之，数轴上的任意一个点都表示一个实数．数轴上的任一点表示的数，不是有理数，就是无理数． （2）在数轴上，表示相反数的两个点在原点的两旁，并且两点到原点的距离相等，实数a的绝对值就是在数轴上这个数对应的点与原点的距离． （3）利用数轴可以比较任意两个实数的大小，即在数轴上表示的两个实数，右边的总比左边的大，在原点左侧，绝对值大的反而小． 我们尝试用数轴上的一个点来表示． 由前面的学习，我们知道两个边长为1的小正方形可以拼成一个面积为2的正方形ABCD，它的边长为．观察正方形ABCD，可知它的一边是一个直角三角形的斜边，这个直角三角形的两条直角边长都是1． 这样，就在数轴上确定一个点来表示． 要点：每一个实数都可以用数轴上的点表示，而且这些点是唯一的；反过来，数轴上的每一个点都表示一个实数．数轴上的点与实数一一对应。 四．实数的运算 （1）实数的运算和在有理数范围内一样，值得一提的是，实数既可以进行加、减、乘、除、乘方运算，又可以进行开方运算，其中正实数可以开平方． （2）在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行． 另外，有理数的运算律在实数范围内仍然适用． 【规律方法】实数运算的“三个关键” 1．运算法则：乘方和开方运算、幂的运算、指数（特别是负整数指数，0指数）运算、根式运算、特殊三角函数值的计算以及绝对值的化简等． 2．运算顺序：先乘方，再乘除，后加减，有括号的先算括号里面的，在同一级运算中要从左到右依次运算，无论何种运算，都要注意先定符号后运算． 3．运算律的使用：使用运算律可以简化运算，提高运算速度和准确度． 【考点剖析】 一．实数（共7小题） 1．（2022秋•大田县期中）把下列各数填入相应的括号内：，，0.，﹣3.14，，（﹣）2，1.010010001⋯ （1）无理数：{　 　…}； （2）负实数：{　 　…}； （3）整数：{　 　…}； （4）分数：{　 　…}． 2．（2022秋•城阳区期中）把下列各数填入相应的集合内： 0，，﹣，，﹣，，，3.1011，0.3737737773…（相邻两个3之间7的个数逐次加1）． （1）整数集合{　 　…}； （2）分数集合{　 　…}； （3）无理数集合{　 　…}． 3．（2023春•凯里市校级期中）把下列各数填入表示它所在的数集的大括号： ﹣2.4，π，2.022，，﹣0.15，0，﹣10，﹣1.1010010001…． 整数集合：{　 　}；负分数集合：{　 　}； 正实数集合：{　 　}；无理数集合：{　 　}． 4．（2022秋•黑山县期中）把下列各数分别填入相应的集合内： ，﹣，，，﹣，0，﹣0.2121121112…（相邻两个2之间的1的个数逐次加1） 5．（2022秋•浑南区月考）将下列数按要求分类，并将答案填入相应的括号内： 1，﹣0.25，2.3，，0，﹣，﹣2，，； 负实数集合{　 　…}； 有理数集合{　 　…}； 无理数集合{　 　…}． 6．（2022秋•浚县期中）把下列各实数填在相应的大括号内； ，﹣|﹣3|，，，1.1010010001… 整数：{　 　}； 分数：{