课时达标检测(19) 圆锥曲线中的最值(范围)、定值(定点)、探索性问题-【赢在微点】轻松课堂2023-2024学年新教材高中数学选择性必修1（北师大版2019）

课时达标检测(十九)　圆锥曲线中的最值(范围)、 定值(定点)、探索性问题 基础达标 　　　　　　　　　　　　　 1.已知中心在坐标原点O的椭圆C经过点A(2,3),且点F(2,0)为其右焦点。 (1)求椭圆C的标准方程; (2)是否存在平行于OA的直线l,使得直线l与椭圆C有公共点,且直线OA与l的距离等于4?若存在,求出直线l的方程;若不存在,请说明理由。 解　(1)依题意,可设椭圆C的方程为+=1(a>b>0),且可知左焦点为F'(-2,0),从而有解得又a2=b2+c2,所以b2=12。故椭圆C的标准方程为+=1。 (2)假设存在符合题意的直线l,其方程为y=x+t(t≠0)。由消去y,得3x2+3tx+t2-12=0。因为直线l与椭圆C有公共点,所以Δ=(3t)2-4×3(t2-12)≥0,解得-4≤t≤4且t≠0。另一方面,由直线OA与l的距离等于4,可得=4,从而t=±2。由于±2∉[-4,0)∪(0,4],所以符合题意的直线l不存在。 2.已知△AOB的一个顶点为抛物线y2=2x的顶点O,A,B两点都在抛物线上,且∠AOB=90°。 (1)求证:直线AB必过一定点; (2)求△AOB面积的最小值。 解　(1)证明:设OA所在直线的方程为y=kx(k≠0),则直线OB的方程为y=-x。由得A,,由得B(2k2,-2k)。所以直线AB所在的直线方程为(y+2k)-2k2=+2k(x-2k2),化简得x--ky-2=0,所以直线AB过定点P(2,0)。 (2)由于直线AB所在直线方程过定点P(2,0),所以可设直线AB的方程为x=my+2,A(x1,y1),B(x2,y2)。由得y2-2my-4=0。所以y1+y2=2m,y1y2=-4,所以|y1-y2|===。所以S△AOB=|y1|·|OP|+|y2|·|OP|=|OP|·|y1-y2|=|y1-y2|=≥4(当且仅当m=0时取“=”)。所以当m=0时,△AOB面积取最小值,为4。 3. 如图,已知椭圆C1:+y2=1,抛物线C2:y2=2px(p>0),点A是椭圆C1与抛物线C2的交点,过点A的直线l交椭圆C1于点B,交抛物线C2于点M(B,M不同于A)。 (1)若p=,求抛物线C2的焦点坐标; (2)若存在不过原点的直线l使M为线段AB的中点,求p的最大值。 解　(1)由p=得C2的焦点坐标是,0。 (2)由题意可设直线l:x=my+t(m>0,t≠0),点A(x0,y0)。将直线l的方程代入椭圆C1:+y2=1得(m2+2)y2+2mty+t2-2=0,所以点M的纵坐标yM=-。将直线l的方程代入抛物线C2:y2=2px得y2-2pmy-2pt=0。所以y0yM=-2pt,解得y0=,因此x0=。由+=1得=4m+2+2m+4≥160,所以当m=时,p取到最大值。 素养升级 4.在平面直角坐标系xOy中,设点F(1,0),直线l:x=-1,点P在直线l上移动,R是线段PF与y轴的交点,RQ⊥FP,PQ⊥l。 (1)求动点Q的轨迹方程; (2)记Q的轨迹为曲线E,过点F作两条互相垂直的直线交曲线E的弦为AB,CD,设AB,CD的中点分别为M,N,求证:直线MN过定点(3,0)。 解　(1)因为点F(1,0),直线l:x=-1,所以点R是线段FP的中点,由此及RQ⊥FP知,RQ是线段FP的垂直平分线。因为|PQ|是点Q到直线l的距离,而|PQ|=|QF|,所以动点Q的轨迹是以F为焦点,l为准线的抛物线,其方程为y2=4x(x>0)。 (2)证明:设A(x1,y1),B(x2,y2),M(xM,yM),直线AB:x=my+1(m≠0),联立消去x得y2-4my-4=0。于是,有yM==2m,xM=m·yM+1=2m2+1,即M(2m2+1,2m)。同理,N+1,-。因此,直线MN的斜率为kMN==,方程为y-2m=×(x-2m2-1),即mx+(1-m2)y-3m=0。显然,不论m为何值,(3,0)均满足方程,所以直线MN过定点(3,0)。 5.已知A,B分别为椭圆E:+y2=1(a>1)的左、右顶点,G为E的上顶点,·=8。P为直线x=6上的动点,直线PA与E的另一交点为C,直线PB与E的另一交点为D。 (1)求E的方程; (2)证明:直线CD过定点。 解　(1)由题设得A(-a,0),B(a,0),G(0,1)。则=(a,1),=(a,-1)。由·=8得a2-1=8,即a=3。所以E的方程为+y2=1。 (2)证明:设P(6,t),若t≠0,则PA的方程为y=(x+3),联立可得(t2+9)x2+6t2x+9t2-81=0,由根与系数的关系可得xAxC=,因为xA=-3,所以xC=,将其代入直线y=(x+3)中,得yC=,所以C,同理可得D。由对称性可知