第3章 空间向量与立体几何 章末测评卷-【赢在微点】轻松课堂2023-2024学年新教材高中数学选择性必修1（北师大版2019）

第三章测评卷 (时间:120分钟　满分:150分) 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。 1.与向量a=(1,3,-2)平行的一个向量的坐标是 (B) A. B. C. D.(,-3,-2) 解析　对于B,-,-,1=-(1,3,-2)=-a。故选B。 2.已知四边形ABCD满足:·<0,·<0,·<0 ,·<0,则该四边形为 (D) A.平行四边形 B.梯形 C.长方形 D.空间四边形 解析　由已知条件可知四边形ABCD中,∠ABC,∠BCD,∠ADC和∠BAD均为锐角,而在平面四边形中任一四边形的内角和均为360°,这与已知条件矛盾,所以该四边形一定为空间四边形。故选D。 3.已知a=(cos a,1,sin a),b=(sin a,1,cos a),则向量a+b与a-b的夹角是 (A) A.90° B.60° C.30° D.0° 解析　(a+b)(a-b)=a2-b2=0,所以(a+b)⊥(a-b)。故选A。 4.如果平面的一条斜线和它在这个平面上的投影的方向向量分别是a=(1,0,1),b=(0,1,1),那么,这条斜线与平面所成的角是 (D) A.90° B.30° C.45° D.60° 解析　cos<a,b>==,所以<a,b>=60°。 5.在正方体ABCD⁃A1B1C1D1中,M是棱DD1的中点,点O为底面ABCD的中心,P为棱A1B1上任一点,则异面直线OP与AM所成的角的大小为 (C) A. B. C. D. 解析　如图,以D为原点,建立空间直角坐标系,设||=1,则A(1,0,0),M0,0,,O,,0,P(1,y,1),则=-1,0,,=,y-,1,所以·=0,所以OP⊥AM。 6.设a1=2m-j+k,a2=m+3j-2k,a3=-2m+j-3k,a4=3m+2j+5k,其中m,j,k是两两垂直的单位向量,若a4=λa1+μa2+va3,则实数λ,μ,v的值分别是 (B) A.1,-2,3 B.-2,1,-3 C.-2,1,3 D.-1,2,3 解析　由题意知,a4=2λm-λj+λk+μm+3μj-2μk-2vm+vj-3vk=3m+2j+5k,所以解得 7.已知空间三点O(0,0,0),A(-1,1,0),B(0,1,1),在直线OA上有一点H满足BH⊥OA,则点H的坐标为 (C) A.(-2,2,0) B.(2,-2,0) C. D. 解析　由=(-1,1,0),且点H在直线OA上,可设H(-λ,λ,0),则=(-λ,λ-1,-1)。又BH⊥OA,所以·=0,即(-λ,λ-1,-1)·(-1,1,0)=0,即λ+λ-1=0,解得λ=,所以H-,,0。故选C。 8.已知空间两个动点A(m,1+m,2+m),B(1-m,3-2m,3m),则||的最小值是 (C) A. B. C. D. 解析　因为=(1-2m,2-3m,-2+2m),所以||2=(1-2m)2+(2-3m)2+(-2+2m)2=17m2-24m+9=17m-2+,所以||min=。 二、选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分。在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求。全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分。 9.正方体ABCD⁃A1B1C1D1的棱长为a,则下列结论正确的是 (BC) A.·=-a2 B.·=2a2 C.·=-a2 D.·=2a2 解析　 如图所示,·=·=·(+)==a2,A选项错误;·=(-)·(+)=(-)·(-+)=+=2a2,B选项正确;·=(+)·(-)=-=-a2,C选项正确;·=·(++)==a2,D选项错误。故选BC。 10.已知向量a=(1,1,-1),b=(2,-1,0),c=(0,1,-2),则下列结论正确的是 (ABD) A.a·(b+c)=4 B.(a-b)·(b-c)=-8 C.记a与b-c的夹角为θ,则cos θ= D.若(a+λb)⊥c,则λ=3 解析　由题意得,a·(b+c)=(1,1,-1)·(2,0,-2)=2+0+2=4,(a-b)·(b-c)=(-1,2,-1)·(2,-2,2)=-2-4-2=-8。因为a·(b-c)=2-2-2=-2,|a||b-c|=×2=6,所以cos θ==-。因为(a+λb)⊥c,所以(a+λb)·c=0,即(1+2λ,1-λ,-1)·(0,1,-2)=0,得1-λ+2=0,解得λ=3。综上可知,选项A,B,D正确。 11.如图,在三棱柱ABC⁃A1B1C1中,设=a,=b,=c,M是A1B的中点,点N在CM上,且CN∶CM=1∶4,用基{a,b,c}表示下列各向量,其中正确的是 (BCD) A.=(a+b) B.=a+