课时达标检测10 二面角-【赢在微点】轻松课堂2023-2024学年新教材高中数学选择性必修1（人教B版2019）

课时达标检测(十)　二面角 基础达标 　　　　　　　　　　　　　　 一、单项选择题 1.在一个二面角的两个面内都和二面角的棱垂直的两个向量分别为(0,-1,3),(2,2,4),则这个二面角的余弦值为 (D) A. B.- C. D.± 解析　因为=,所以这个二面角的余弦值为或-。 2.如图所示,在边长为a的正三角形ABC中,AD⊥BC,沿AD将△ABD折起,若折起后B,C两点间距离为a,则二面角B⁃AD⁃C的大小为 (C) ①　② A.30° B.45° C.60° D.90° 解析　折叠前后,都有AD⊥BD,AD⊥DC,所以∠BDC为二面角B⁃AD⁃C的平面角。因为BD=DC=a,BC=a,所以△BDC为等边三角形,所以∠BDC=60°。 3.如图,在空间直角坐标系Dxyz中,四棱柱ABCD⁃A1B1C1D1为长方体,AA1=AB=2AD,点E,F分别为C1D1,A1B的中点,则二面角B1⁃A1B⁃E的余弦值为 (C) A.- B.- C. D. 解析　设AD=1,则A1(1,0,2),B(1,2,0),因为E,F分别为C1D1,A1B的中点,所以E(0,1,2),F(1,1,1),所以=(-1,1,0),=(0,2,-2),设m=(x,y,z)是平面A1BE的法向量,则所以所以取x=1,则y=z=1,所以平面A1BE的一个法向量为m=(1,1,1),又DA⊥平面A1B1B,所以=(1,0,0)是平面A1B1B的一个法向量,所以cos<m,>===,又二面角B1⁃A1B⁃E为锐二面角,所以二面角B1⁃A1B⁃E的余弦值为,故选C。 4.若与一个二面角的两个面分别平行的向量为m=(-1,2,0),n=(1,0,-2),且m,n都与二面角的棱垂直,则二面角的正弦值为 (B) A. B. C. D. 解析　设二面角为θ,则cos θ=|cos<m,n>|===,sin θ==。 5.已知三棱锥P⁃ABC的底面是以AC为斜边的直角三角形,顶点P在底面的射影恰好是△ABC的外心,PA=AB=1,BC=,则PB与底面ABC所成角的大小为 (B) A.60° B.30° C.45° D.90° 解析　设△ABC的外心为O,PB与底面ABC所成的角为θ。由AB=1,BC=,知AC=,则OA=。又PA=1,PO⊥AC,所以PO=,因为OB=OA=,得tan θ=,所以θ=30°。 6.如图所示,M,N是直角梯形ABCD两腰的中点,DE⊥AB于点E,现将△ADE沿DE折起,使二面角A⁃DE⁃B为45°,此时点A在平面BCDE内的射影恰为点B,则M,N的连线与AE所成的角的大小为 (B) A.45° B.90° C.135° D.180° 解析　建立空间直角坐标系,如图所示。由题意知△ABE为等腰直角三角形。设CD=1,则BE=1,AB=1,AE=。设BC=DE=2a,则E(0,0,0),A(1,0,1),N(1,a,0),D(0,2a,0),M,所以=,=(-1,0,-1),所以·=·(-1,0,-1)=0,故⊥,从而MN与AE所成的角为90°。 二、多项选择题 7.平面α的法向量为n1=(1,0,-1),平面β的法向量为n2=(0,-1,1),则平面α与β所成二面角的大小为 (AC) A. B. C. D. 解析　设二面角大小为θ,则cos<n1,n2>==-,所以cos θ=或cos θ=-,所以θ=或θ=。故选AC。 8.如图,已知平面α内有一个以AB为直径的圆,PA⊥α,点C在圆周上(异于点A,B),点D,E分别是点A在PC,PB上的射影,则 (BD) A.∠ADE为二面角A⁃PC⁃B的平面角 B.∠AED为二面角A⁃PB⁃C的平面角 C.∠DAE为二面角B⁃PA⁃C的平面角 D.∠ACP为二面角A⁃BC⁃P的平面角 解析　因为AB为圆的直径,所以BC⊥AC,因为PA⊥BC,AC∩PA=A,所以BC⊥平面PAC,所以BC⊥PC,即∠ACP为二面角A⁃BC⁃P的平面角,故D正确。又因为BC⊥平面PAC,所以AD⊥BC,又AD⊥PC,所以AD⊥平面PBC,AD⊥PB。又PB⊥AE,AE∩AD=平面ADE,所以PB⊥平面ADE,所以PB⊥DE,即∠AED为二面角A⁃PB⁃C的平面角,故B正确。 三、填空题 9.如图,在直三棱柱ABC⁃A1B1C1中,AA1=BC=AB=2,AB⊥BC,则二面角B1⁃A1C⁃C1的大小为  。  解析　如图,建立空间直角坐标系。则A(2,0,0),C(0,2,0),A1(2,0,2),B1(0,0,2),C1(0,2,2),设AC的中点为M,因为BM⊥AC,BM⊥CC1,所以BM⊥平面AA1C1C,即=(1,1,0)是平面AA1C1C的一个法向量。设平面A1B1C的一个法向量为n=(x,y,z),=(-2