课时达标检测9 直线与平面的夹角-【赢在微点】轻松课堂2023-2024学年新教材高中数学选择性必修1（人教B版2019）

课时达标检测(九)　直线与平面的夹角 　　　　　　　　　　　　　　 基础达标 一、单项选择题 1.平面的一条斜线和这个平面所成的角θ的取值范围是 (C) A.(0°,180°) B.[0°,90°] C.(0°,90°) D.(0°,90°] 解析　由斜线和平面所成的角的定义知选C。 2.若平面α的一个法向量为n=(4,1,1),直线l的一个方向向量为a=(-2,-3,3),则l与α所成角的正弦值为 (A) A. B.- C. D.- 解析　cos<n,a>===。故正弦值为。故选A。 3.若直线l与平面α所成的角为,直线a在平面α内,且与直线l异面,则直线l与直线a所成角的取值范围是 (D) A. B. C. D. 解析　由最小角定理知直线l与直线a所成的最小角为,又l,a为异面直线,则所成角的最大值为。 4.在棱长为1的正方体ABCD⁃A1B1C1D1中,E为CC1的中点,则直线A1B与平面BDE所成的角为 (B) A.　　　　 B. C.　　　　 D.π 解析　以点D为坐标原点,DA,DC,DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系,则D(0,0,0),B(1,1,0),E0,1,,A1(1,0,1)。可得平面BDE的一个法向量为n=(1,-1,2)。因为=(0,-1,1),所以cos<n,>==,所以<n,>=。即直线A1B与平面BDE所成的角为。 5.直线l与平面α所成的角是45°,若直线l在α内的射影与α内的直线m所成的角是45°,则l与m所成的角是 (C) A.30° B.45° C.60° D.90° 解析　由题意,θ1=45°,θ2=45°。由cos θ=cos θ1cos θ2,得cos θ=,所以θ=60°。故选C。 6.如图,矩形ABCD中,已知AB=AD,E是AD的中点,沿BE将△ABE折起到△A'BE的位置,使A'C=A'D,则A'C与平面BEDC所成角的正切值是 (B) A.2 B. C. D. 解析　如图,以B为坐标原点,以BA,BC所在的直线为x轴、y轴建立空间直角坐标系Bxyz。取BE的中点M,CD的中点N,连接A'M,MN,A'N,由题意可证得A'M⊥BE,A'M⊥CD,得A'M⊥平面BCDE,则∠A'CM是A'C与平面BEDC所成的角。令AB=1,AD=2,则M,,0,A',,,C(0,2,0),则=,是平面BEDC的一个法向量且=,所以sin∠A'CM=|cos<,>|===,所以tan∠A'CM=。 二、多项选择题 7.自平面α外一点P向平面α引垂线段PO及两条斜线段PA,PB,它们在平面α内的射影长分别为2和12,且这两条斜线与平面α所成的角相差45°,则垂线段PO的长为 (AC) A.4 B. C.6 D.6 解析　设PO的长为a,PA,PB与α所成的角分别为α1,α2,则α1=α2+45°。又因为tan α1=,tan α2=,所以tan α1=tan(α2+45°),即=,解得a=4或a=6。故选AC。 8.正方形纸片ABCD,沿对角线AC折起,使点D在面ABCD外,这时DB与平面ABC所成角可能为 (BC) A.150° B.45° C.60° D.90° 解析　由线面角取值范围知,A错误;当沿对角线AC折起时,BD在面ABC上的射影始终在原对角线BD上,若BD⊥平面ABC,则此时B,D重合为一点,这是不成立的,排除D。故选BC。 三、填空题 9.在正方体ABCD⁃A1B1C1D1中,BD1与平面A1B1C1D1所成角的正切值为  。  解析　如图所示,连接D1B1,则∠BD1B1为BD1与平面A1B1C1D1所成的角。tan∠BD1B1==。 10.在空间直角坐标系Oxyz中,已知A(1,-2,0),B(2,1,),则向量与平面xOz的法向量夹角的正弦值为  。  解析　设平面xOz的法向量为n=(0,t,0)(t≠0)。因为=(1,3,),所以cos<n,>==。因为<n,>∈[0,π],所以sin<n,>==。 11.已知三棱锥S⁃ABC中,底面为边长等于2的等边三角形,SA垂直于底面ABC,SA=3,M为SC的中点,则直线AB与平面SBC所成角的正弦值为  ,直线AM与平面SBC所成角的正弦值为  。  解析　建立如图所示的空间直角坐标系,则S(0,0,3),A(0,0,0),B(,1,0),C(0,2,0),M。所以=(,1,0),=(,1,-3),=(0,2,-3),=。设平面SBC的法向量为n=(x,y,z),则令y=3,则z=2,x=,所以n=(,3,2)。设AB与平面SBC所成的角为θ,则sin θ===。设AM与平面SBC所成角为α,则sin α===。 四、解答题 12.如图所示,在直三棱柱ABO⁃A'B'O'中,OO'=4,OA=4,