1.2.3 直线与平面的夹角 微讲小本-【赢在微点】轻松课堂2023-2024学年新教材高中数学选择性必修1（人教B版2019）

1.2.3　直线与平面的夹角 情境导入 课程标准 　　 赛艇比赛,是第29届奥运会主要赛事之一。1896年,男子赛艇比赛被正式纳入奥运会比赛项目,划杆与水平面所成角的大小,直接关系到赛艇的速度。如何确定划杆与水平面所成角,正是我们这一节学习的内容。 1.了解直线与平面的夹角的三种情况,理解斜线和平面所成角的概念。 2.了解三个角θ,θ1,θ2的意义,会利用公式cos θ=cos θ1·cos θ2求平面的斜线与平面内的直线的夹角。 3.会求直线与平面所成的角。 自主预习明新知 　 知识点一、直线与平面的夹角 1.定义。 (1)如果一条直线与一个平面垂直,则称这条直线与这个平面所成的角为90°。 (2)如果一条直线与一个平面平行,或直线在平面内,则称这条直线与这个平面所成的角为0°。 (3)平面的斜线与它在平面内的射影所成的锐角,称为这条斜线与平面所成的角。 2.直线与平面的夹角的范围。 θ∈。 3.斜线与平面所成角的性质。 设AO是平面α的一条斜线段,O为斜足,A'为A在平面α内的射影,而OM是平面α内的一条射线,A'M⊥OM。记∠AOA'=θ1,∠A'OM=θ2,∠AOM=θ,则cos θ=cos θ1cos θ2。  4.射影的长度。 当线段AB所在的直线与平面α所成的角为θ,且AB在平面α内的射影为A'B'时,有A'B'=ABcos θ。  知识点二、用空间向量求直线与平面的夹角 v是直线l的一个方向向量,n是平面α的一个法向量,设直线l与平面α所成角的大小为θ,如图①②所示,则θ=-<v,n>或θ=<v,n>-,特别地,cos θ=sin<v,n>或sin θ=|cos<v,n>|。 　 ① ② 微提醒 对公式cos θ=cos θ1cos θ2的理解 一般地,因为0≤cos θ2≤1,所以cos θ≤cos θ1,因为θ1和θ都是锐角,所以可得θ1≤θ。在公式中,令θ2=90°,则cos θ=cos θ1·cos 90°=0,所以θ=90°。此即三垂线定理。反之,若θ=90°,可知θ2=90°,即为三垂线定理的逆定理,即三垂线定理及其逆定理可看成此公式的特例。 微思考 向量法求斜线与平面所成角的步骤是怎样的? 提示:(1)建立空间直角坐标系。 (2)求出相关点的坐标。 (3)求直线的方向向量s和平面的法向量n。 (4)计算cos<s,n>=。 (5)设线面角为θ,由sin θ=|cos<s,n>|得θ的值。注意θ的取值范围θ∈。 合作探究攻重难 　 类型一　用定义求线面角 　　【例1】　已知∠BOC在平面α内,OA是平面α的一条斜线,若∠AOB=∠AOC=60°,OA=OB=OC=a, BC=a,求OA与平面α所成角的大小。 解　因为OA=OB=OC=a,∠AOB=∠AOC=60°,所以AB=AC=a。因为BC=a,所以AB2+AC2=BC2, 所以△ABC为等腰直角三角形。同理,△BOC也为等腰直角三角形。如图,过点A作AH⊥α于点H,连接OH。则OH为AO在平面α内的射影,∠AOH为OA与平面α所成的角。因为OA=OB=OC=AB=AC,所以OH=BH=CH,H为△BOC的外心,所以点H在BC上,且为BC的中点。因为在Rt△AOH中,AH=a,所以sin∠AOH==,所以∠AOH=45°,所以OA与平面α所成角的大小为45°。 　　用定义法求直线与平面所成的角时,关键是找到斜线的射影,找射影有两种方法:(1)斜线上任一点在平面内的射影必在斜线在平面内的射影上;(2)利用已知垂直关系得出线面垂直,确定射影。 【变式训练】　如果平面的一条斜线段的长是它在这个平面上的射影长的3倍,那么该斜线段与平面所成角的余弦值为 (A) A.　　　B. C.　　　D. 解析　设斜线段的长为m,则它在这个平面上的射影的长为,设该斜线段与平面所成的角为θ,则cos θ==。 类型二　公式cos θ=cos θ1cos θ2的应用 　　【例2】　已知平行六面体ABCD⁃A1B1C1D1的底面是边长为a的菱形,O为菱形ABCD的中心,∠BAD=∠BAA1=∠DAA1=60°,AA1=a,求证:A1O⊥平面ABCD。 证明　因为菱形ABCD的边长为a,且∠BAD=60°,所以AC为∠BAD的平分线,且AO=a,又∠A1AB=∠A1AD,所以直线A1A在平面ABCD内的射影为直线AC,记∠A1AC=θ。则cos θ===。所以A1Acos θ=a×=a=AO,所以A1O⊥平面ABCD。 　　(1)公式cos θ=cos θ1cos θ2在解题时经常用到,可用来求线面角θ1,在应用公式时,一定要分清θ,θ1,θ2分别对应图形中的哪个角,否则极易出错。