第19讲 平行线分线段成比例（八大题型）-【暑假自学课】2023年新九年级数学暑假精品课（北师大版）

第19讲 平行线分线段成比例 1. 平行线分线段成比例及其推论. 2. 平行线分线段成比例及其推论的应用. 一、平行线截线段成比例 基本事实：两条直线被一组平行线(不少于3条)所截，所得的对应线段成比例 已知如图，直线l1、l2、l3是一组等距离的平行线，l4、l5是任意画的两条直线，分别于这组平行线一下相交于点A，B，C，D，E，F，则比例式 成立. 要点： (1).对应线段成比例可用下面的语言形象表示： 等等. （2）有推论可以得出以下结论： 二、把已知线段AB五等分. 已知线段AB，请利用尺规作图把线段AB五等分. 作法 1. 以A为端点作一条射线，并在射线上依次截取线段AA1=A1A2=A2A3=A3A4=A4A5. 2. 连结A5B，并过点A1，A2，A3，A4分别作A5B的平行线，依次交AB于点B1，B2，B3，B4.则点B1，B2，B3，B4就是所求作的把线段AB五等分的点. 依据：实际上，过点A作l∥A5B，根据平行线分线段成比例的基本事实，就可以得到如下关系式 ∵ AA1=A1A2=A2A3=A3A4=A4A5， ∴ AB1=B1B2=B2B3=B3B4=B4B, ∴点B1，B2，B3，B4把线段AB五等分. 要点：在射线上截取等长的线段时使用的作图工具是圆规,不能使用直尺进行量取,尺规作图中的直尺是没有刻度的,它的用途是画线或者连线. 考点1：A字三角形 例1．如图，在△ABC中，DE∥BC，AE＝4，EC＝6，AB＝5，则BD的长为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】根据平行线分线段成比例定理列出比例式，把已知数据代入计算即可． 【解析】解：， ， 即， 解得：， 故选：C． 【点睛】本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键． 例2．如图，在中，点、分别在、上，连接，，则的长为（    ） A． B． C． D．2 【答案】A 【分析】根据平行线分线段成比例得出，代入数据即可求解． 【解析】解：∵， ∴， 即， 解得， 故选：A． 【点睛】本题考查了平行线分线段成比例，找准对应边是解题的关键． 例3．如图，在△ABC中，DE∥BC，AD=6，DB=3，AE=4，则EC的长为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【解析】根据平行线分线段成比例可得， 代入计算可得：， 即可解EC=2， 故选B． 例4．如图，，，，则的长是（    ） A．3 B．4 C．6 D．10 【答案】B 【分析】利用平行线分线段成比例定理得到，然后利用比例的性质可计算出的长． 【解析】解：∵， ∴，即， ∴． 故选：B． 【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理．掌握平行线分线段成比例定理是解答本题的关键． 例5．如图，在中，若，，，则的长是______． 【答案】 【分析】利用平行线分线段成比例定理进行求解即可． 【解析】解：∵， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了平行线分线段成比例定理，熟知平行线分线段成比例定理是解题的关键． 例6．已知：如下图，，，，，则_______． 【答案】8 【分析】根据平行线分线段成比例求出，减去可得结果． 【解析】解：∵， ∴，即， ∴， ∴， 故答案为：8． 【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理，关键是能根据平行线得出正确的比例式． 例7．如图，在中，，，，则______． 【答案】/0.6 【分析】由平行线分线段成比例性质，直接带入数据即可求出结果． 【解析】∵， ∴， 故答案为． 【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理，平行线分线段成比例定理指的是两条直线被一组平行线所截，截得的对应线段的长度成比例． 例8．如图，在中，，则的长为 _______． 【答案】10 【分析】根据平行线分线段成比例可得，即，求，根据求即可． 【解析】解：∵， ∴，即， ∴， ∴， 故答案为：10． 【点睛】本题考查了平行线分线段成比例．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用． 例9．如图，已知：中，． (1)若，，，求的长； (2)若，，，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用平行线分线段成比例定理,得出，代入数据计算即可； （2）利用平行线分线段成比例定理, ，代入数据得出，根据即可求解． 【解析】（1）∵， ∴， ∵，，， ∴， 解得； （2）∵， ∴， ∵，，， ∴， 解得； ∴． 【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理，根据题意灵活选择不同的比例式是解题的关键． 考点2：X字三角形 例10．如图，已知，那么（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】由平行线分线段成比例定理，得到；利用AO、BO、CO的长度，求出DO的长度即可解决问题． 【解析】解：∵AB∥C