3.2 函数的性质（讲）-【中职专用】中职高考数学一轮复习讲练测（山东专用）

3.2 函数的性质 知识点1 函数的单调性 1.函数单调性的概念 函数值随着自变量的增大而增大(或减小)的性质叫做函数的单调性. 2.函数的单调性 如图1所示，设函数在区间内有意义.如果对任意的，当时,都有成立,那么,函数叫做区间内的增函数，区间叫做函数的增区间. 如图2所示,设函数在区间内有意义.对于任意的，如果当时,都有成立,那么函数叫做区间内的减函数。区间叫做函数)的减区间. 3.单调区间 如果函数f(x)在区间内是单调递增（或单调递减），那么就说函数f(x)在区间具有单调性，区间叫做y＝f(x)的单调区间． 知识点2 函数的奇偶性 1. 对称点的坐标特征 一般地，设点为平面内的任意一点，则 (1)点关于轴的对称点的坐标为 (2) 点关于轴的对称点的坐标为 (3) 点关于原点O的对称点的坐标为 2.函数图像的轴对称与中心对称 (1)轴对称：如果把一个图像沿着轴对折，对折后轴两侧的图像完全重合.即函数图像上任意一点关于轴的对称点仍然在函数图像上，那么称函数图像关于轴对称,并把轴叫做这个函数图像的对称轴. (2)中心对称：如果函数图像绕着原点旋转，旋转前后的图像完全重合,即函数图像上任意一点关于原点的对称点仍然在函数图像上，那么称函数图像关于原点中心对称，并把原点叫做这个函数图像的对称中心。 3.函数的奇偶性 设函数的定义域为数集. (1)如果对于任意的，都有，且，那么函数叫做偶函数: (2)如果对于任意的，都有，且，那么函数叫做奇函数 如果一个函数是奇函数或偶函数，那么，就说这个函数具有奇偶性，不具有奇偶性的函数叫做非奇非偶函数。 4.奇偶函数的图像特征 (1)奇函数的图像关于原点O中心对称，可以证明，图像关于原点O中心对称的函数为奇函数 (2)偶函数的图像关于y轴对称，可以证明，图像关于y轴对称的函数为偶函数. 考点1 函数单调性的判定 【例1】判断函数f(x)＝在(－∞，1)单调性． 【解后感悟】利用定义证明函数单调性的4个步骤 【变式1-1】下列函数在上单调递减的是（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】若函数在上是增函数，对于任意的，（），则下列结论不正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式1-3】若对于区间上的函数，满足对于任意的，，则函数在上是_________.（选填增函数或减函数） 考点2 求函数的单调区间 【例2】函数f(x)＝|x|，g(x)＝x(2－x)的递增区间依次是(　　) A．(－∞，0]，(－∞，1]　　 B．(－∞，0]，(1，＋∞) C．[0，＋∞)，(－∞，1] D．[0，＋∞)，[1，＋∞) 【解后感悟】求函数单调区间的2种方法 法一：定义法．即先求出定义域，再利用定义法进行判断求解． 法二：图象法．即先画出图象，根据图象求单调区间．　　　 【变式2-1】函数单调减区间是（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】函数的单调增区间是______. 【变式2-3】若定义在R上的函数的图象如图所示，则其单调递增区间是______，单调递减区间是______． 考点3 函数单调性的应用 【例3】若函数f(x)在区间(－∞，＋∞)上是减函数，则下列关系式一定成立的是(　　) A．f(a)>f(2a) B．f(a2)<f(a) C．f(a2＋a)<f(a) D．f(a2＋1)<f(a2) 【解后感悟】函数单调性的应用 (1)函数单调性定义的“双向性”：利用定义可以判断、证明函数的单调性，反过来，若已知函数的单调性可以确定函数中参数的取值范围． (2)若一个函数在区间[a，b]上是单调的，则此函数在这一单调区间内的任意子集上也是单调的．　 【变式3-1】函数在上是减函数，则（    ） A． B． C． D． 【变式3-2】已知函数在上单调，则实数k的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式3-3】已知在区间上是严格增函数，则的取值范围是______． 考点4 判断函数的奇偶性 【例4】函数y＝的奇偶性是(　　) A．奇函数　　　　　　　　 B．偶函数 C．既是奇函数又是偶函数 D．非奇非偶函数 【解后感悟】判断函数奇偶性的方法 (1)定义法： 根据函数奇偶性的定义进行判断．步骤如下： ①判断函数f(x)的定义域是否关于原点对称．若不对称，则函数f(x)为非奇非偶函数，若对称，则进行下一步． ②验证．f(－x)＝－f(x)或f(－x)＝f(x)． ③下结论．若f(－x)＝－f(x)，则f(x)为奇函数； 若f(－x)＝f(x)，则f(x)为偶函数； 若f(－x)≠－f(x)，且f(－x)≠f(x)，则f(x)为非奇非偶函数． (2)图象法： ①若f(x)图象关于原点对称，则f(x)是奇函数． ②若f(x)图象关于y轴对