重难点05三角形中“8”字模型-【暑假预习】2023年新八年级数学核心知识点与常见题型通关讲解练（沪科版）

重难点05三角形中“8”字模型 【知识梳理】 一、“8”字模型 三角形三个内角的和等于180° 对顶角相等 【考点剖析】 例1.图1，线段AB、CD相交于点O，连接AD、CB，我们把形如图1的图形称之为“8字形”．如图2，在图1的条件下，∠DAB和∠BCD的平分线AP和CP相交于点P，并且与CD、AB分别相交于M、N．试解答下列问题： （1）在图1中，请直接写出∠A、∠B、∠C、∠D之间的数量关系：　 　； （2）仔细观察，在图2中“8字形”的个数：　　个； （3）图2中，当∠D＝50度，∠B＝40度时，求∠P的度数． （4）图2中∠D和∠B为任意角时，其他条件不变，试问∠P与∠D、∠B之间存在着怎样的数量关系．（直接写出结果，不必证明）． 例2.（2021春•邗江区月考）如图1，已知线段AB、CD相交于点O，连接AC、BD，则我们把形如这样的图形称为“8字型”． （1）求证：∠A+∠C＝∠B+∠D． 利用以上结论解决下列问题： （2）如图2所示，∠1＝130°，则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数为　 　． （3）如图3，若∠CAB和∠BDC的平分线AP和DP相交于点P，且与CD，AB分别相交于点M，N． ①若∠B＝100°，∠C＝120°，求∠P的度数． ②若角平分线中角的关系改成“∠CAP＝∠CAB，∠CDP＝∠CDB”，试直接写出∠P与∠B，∠C之间存在的数量关系，并证明理由． 【过关检测】 一、单选题 1．（2023·全国·八年级假期作业）如图，AB和CD相交于点O，∠A＝∠C，则下列结论中不能完全确定正确的是（    ） A．∠B＝∠D B．∠1＝∠A＋∠D C．∠2＞∠D D．∠C＝∠D 2．（2023·全国·八年级假期作业）如图，∠1=60°，则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=（　　） A．240° B．280° C．360° D．540° 3．（2023·全国·八年级假期作业）如图，在由线段组成的平面图形中，，则的度数为（    ）． A． B． C． D． 二、填空题 4．（2023春·七年级课时练习）如图，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H+∠I＝__． 5．如图，线段AB、CD相交于点O，AE平分∠DAB，CE平分∠BCD，当∠B＝50°，∠D＝40°时，∠E的度数是　 　． 6．如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数是　 ． 7．如图所示，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F＝　 　°． 8．（2021·河北·统考中考真题）下图是可调躺椅示意图（数据如图），与的交点为，且，，保持不变．为了舒适，需调整的大小，使，则图中应___________（填“增加”或“减少”）___________度． 三、解答题 9．（2023·江苏·八年级假期作业）如图，，，，，求和的度数． 10．（2023·全国·八年级假期作业）如图所示，求的度数. 11．（2023·全国·八年级假期作业）如图，平分，交于点F，平分交于点E，与相交于点G，． （1）若，求的度数； （2）若，求的度数． 12．（2023春·全国·七年级专题练习）如图，求的度数. 13．（2023春·全国·七年级专题练习）如图，求的度数. 14．（2022秋·八年级课时练习）如图，，求的度数. 15．（2023·全国·八年级假期作业）如图，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H六个角的和． 16．（2023·全国·八年级假期作业）如图，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H+∠K的度数． 17．（2023春·七年级课时练习）如图，在直角中，是的平分线，,的延长线与的平分线交于点，求的度数. 18．（2023春·七年级课时练习）（1）如图①，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数； （2）如图②，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H的度数； （3）如图③，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G的度数． 19． “8字”的性质及应用： （1）如图①，AD、BC相交于点O，得到一个“8字”ABCD，求证：∠A+∠B＝∠C+∠D． （2）图②中共有多少个“8字”？ （3）如图②，∠ABC和∠ADC的平分线相交于点E，利用（1）中的结论证明∠E＝（∠A+∠C）． 20．平面内的两条直线有相交和平行两种位置关系． （1）如图1，若AB∥CD，点P在AB、CD外部，则有∠B＝∠BOD，又因∠BOD是△POD的外角，故∠BOD＝∠BPD+∠D．得∠BPD＝∠B﹣∠D．将点P移到AB、CD内部，如图2，以上结论是否成立？若成立，说明理由；若不成立，则∠BPD、∠B、∠D之间有何数量关系？请证明你的结论； （2）在如图2中，