2.2 一元二次不等式（讲）-【中职专用】中职高考数学一轮复习讲练测（山东专用）

2.2 一元二次不等式 知识点1 一元二次不等式的概念及形式 (1)概念：我们把只含有一个未知数，并且知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式． (2)形式： ①ax2＋bx＋c>0(a≠0)； ②ax2＋bx＋c≥0(a≠0)； 3 ax2＋bx＋c<0(a≠0)； ④ax2＋bx＋c≤0(a≠0)． 知识点2 一元二次不等式的解集 一般地，使某个一元二次不等式成立的x的值叫做这个不等式的解，一元二次不等式的所有解组成的集合叫做这个一元二次不等式的解集. 知识点3 三个“二次”之间的关系 设f(x)＝ax2＋bx＋c(a>0)，方程ax2＋bx＋c＝0的判别式Δ＝b2－4ac 判别式Δ ＝b2－4ac Δ>0 Δ＝0 Δ<0 解不等式 f(x)>0 或f(x)< 0的步骤 求方程f(x)＝0的解 有两个不等的实数解x1，x2 有两个相等的实数解x1＝x2 没有实数解 画函数y＝f(x)的示意图 不 等式 的解 集 f(x)>0 {x|x<x1或x>x2} {x|x≠－} R f(x)<0 {x|x1<x<x2} 知识点4 一元二次不等式的解法 由一元二次不等式与相应方程、函数间的关系知，解一元二次不等式的基本步骤如下: ①判断二次项系数是否为正数,如果不是正数，将不等式两边同乘以-1; ②判断对应方程解的情况,如果有解,求出方程的解; ③根据上表写出一元二次不等式的解集. 考点1 解不含参数的一元二次不等式 【例1】不等式的解集为___________ 【答案】 【解析】，即， 解得： 所以不等式的解集为. 【解后感悟】解不含参数的一元二次不等式的方法 方法一：若不等式对应的一元二次方程能够因式分解，即能够转化为两个一次因式乘积的形式，则可以直接由一元二次方程的根及不等号方向得到不等式的解集． 方法二：若不等式对应的一元二次方程能够化为完全平方式，不论取何值，完全平方式始终大于或等于零，不等式的解集易得． 方法三：若上述两种方法均不能解决，则应采用求一元二次不等式的解集的通法，即判别式法．　　　　 【变式1-1】不等式的解集为（    ） A．或. B．或. C． D． 【答案】B 【解析】不等式，解得：或， 所以不等式的解集为或. 故选：B 【变式1-2】的一个充分不必要条件是（    ） A． B． C． D．或 【答案】C 【解析】解不等式可得或，因为或， 故只有C选项中的条件才是“”的充分不必要条件. 故选：C. 【变式1-3】不等式的解集是___________________. 【答案】 【解析】整理得， ∵抛物线开口向上， ， 所以原不等式的解集为． 考点2 解含参数的一元二次不等式 【例2】关于x的不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】不等式可化为． ∵，∴． ∴原不等式的解集为. 故选：D 【解后感悟】含参一元二次不等式的解法 【变式2-1】已知0＜a＜1，关于x的不等式（x﹣a）（x﹣）＞0的解集为（　　） A．{x|x＜a或x＞} B．{a|x＞a} C．{x|x＜或x＞a} D．{x|x＜} 【答案】A 【解析】 ，函数 的两个零点是 和 ， 其中 ， 的解是 或 ； 故选：A. 【变式2-2】A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题知，不等式的解集是， 所以且， 因为可变为， 所以， 所以， 所以不等式的解集是， 故选：C. 【变式2-3】解关于x的不等式x2＋(1－a)x－a＜0. 【解析】方程x2＋(1－a)x－a＝0的解为x1＝－1，x2＝a， 函数y＝x2＋(1－a)x－a的图象开口向上，则当a＜－1时，原不等式解集为{x|a＜x＜－1}； 当a＝－1时，原不等式解集为∅； 当a＞－1时，原不等式解集为{x|－1＜x＜a}． 考点3 “三个二次”关系的应用 【例3】已知不等式的解集为，则不等式的解集为______． 【答案】 【解析】由题意可得：，是方程的两根，且， 则由韦达定理可得：，解得， 所以不等式化为：，解得， 故所求不等式的解集为. 【解后感悟】一元二次不等式解集逆向应用问题的解法及步骤 (1)求解方法： 由已知不等式的解可转化为一元二次方程的两根，从而由根与系数的关系，找出系数a，b，c之间的关系，写出不等式的解集． (2)求解步骤： 第一步：审结论——明确解题方向 如要解cx2＋bx＋a<0，首先确定c的符号，最好能确定a，b，c的值． 第二步：审条件——挖掘题目信息 利用一元二次方程的根与一元二次不等式的解集的关系列出关于a，b，c的方程组，用a表示b，c. 第三步：建联系——找解题突