第12讲 椭圆-【暑假预科讲义】2023年高一升高二数学暑假精品课（人教A版2019选择性必修第一册）

第12讲 椭圆 【人教A版2019】 ·模块一 椭圆的标准方程 ·模块二 椭圆的焦点三角形 ·模块三 椭圆的简单几何性质 ·模块四 课后作业 模块一 椭圆的标准方程 1．椭圆的定义 (1)定义：平面内与两个定点,的距离的和等于常数(大于)的点的轨迹叫作椭圆.这两个定点叫 作椭圆的焦点，两焦点间的距离叫作椭圆的焦距. (2)椭圆定义的集合表示P={,2a>}. 2．椭圆的标准方程 椭圆的标准方程与其在坐标系中的位置的对应关系： 椭圆在坐标 系中的位置 标准方程 焦点坐标 F1(-c,0),F2 (c,0) F1(0,-c),F2 (0,c) a,b,c的关系 3．椭圆方程的求解 (1)用定义法求椭圆的标准方程 根据椭圆的定义，确定的值，结合焦点位置可写出椭圆方程. (2)用待定系数法求椭圆的标准方程 ①如果明确了椭圆的中心在原点，焦点在坐标轴上，那么所求的椭圆一定是标准形式，就可以利用待 定系数法求解.首先建立方程，然后依据题设条件，计算出方程中的a，b的值，从而确定方程（注意焦点的位置）. ②如果不能确定椭圆的焦点的位置，那么可用以下两种方法来解决问题：一是分类讨论，分别就焦点 在x轴上和焦点在y轴上利用待定系数法设出椭圆的标准方程，再解答；二是用待定系数法设椭圆的一般方程为=1(A>0,B>0,A≠B)，再解答. 【考点1 曲线方程与椭圆】 【例1.1】（2023·高二课时练习）已知条件：，条件：表示一个椭圆，则是的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【例1.2】（2023秋·高二课时练习）“是“方程表示焦点在y轴上的椭圆”的（    ） A．充要条件 B．必要不充分条件 C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式1.1】（2023春·湖南·高二校联考期中）已知方程表示椭圆，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式1.2】（2023春·云南昆明·高三校考阶段练习）已知方程表示焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【考点2 椭圆的定义】 【例2.1】（2023春·上海静安·高二校考期中）设是椭圆上的动点，则到该椭圆的两个焦点距离之和为（    ） A． B． C．4 D． 【例2.2】（2023·全国·高三专题练习）已知点P为椭圆上的一点，，为该椭圆的两个焦点，若，则（    ） A． B． C．1 D．3 【变式2.1】（2023春·贵州黔东南·高三校考阶段练习）已知点，是椭圆上关于原点对称的两点，，分别是椭圆的左、右焦点，若，则（    ） A．1 B．2 C．4 D．5 【变式2.2】（2023秋·山西大同·高二统考期末）如果椭圆上一点到此椭圆一个焦点的距离为2，是的中点，是坐标原点，则的长为（    ） A．6 B．10 C．8 D．12 【考点3 椭圆方程的求解】 【例3.1】（2023秋·广东惠州·高二统考期末）已知椭圆的一个焦点为，且过点，则椭圆的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【例3.2】（2023·全国·高三专题练习）如图，已知椭圆C的中心为原点O，为椭圆C的左焦点，P为椭圆C上一点，满足，且，则椭圆C的方程为（    ） A． B． C． D． 【变式3.1】（2023·全国·高三专题练习）已知椭圆：右焦点为，其上下顶点分别为，，点，，则该椭圆的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【变式3.2】（2023·高二课时练习）已知分别是椭圆的左、右焦点，点，点在椭圆上，，分别是的中点，且的周长为，则椭圆的方程为（    ） A． B． C． D． 【考点4 动点轨迹方程的求法】 【例4.1】（2023秋·高二课时练习）△ABC的两个顶点坐标A（-4，0），B（4，0），它的周长是18，则顶点C的轨迹方程是（    ） A． B．（y≠0） C． D． 【例4.2】（2023春·山东菏泽·高二统考期末）点M与定点的距离和它到定直线的距离的比为，则点M的轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 【变式4.1】（2023·全国·高二专题练习）已知动点满足（为大于零的常数）﹐则动点的轨迹是（    ） A．线段 B．圆 C．椭圆 D．直线 【变式4.2】（2023秋·北京通州·高二统考期末）如图，在圆上任取一点P，过点P作x轴的垂线段PD，D为垂足，当点P在圆上运动时，线段PD的中点M的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 模块二 椭圆的焦点三角形 1．椭圆的焦点三角形 (1)焦点三角形的概念 设M是椭圆上一点，,为椭圆的焦点，当点M,,不在同一条直线上时，它们构成一个三角形焦点三角形，如图所