3.1 函数的概念及其表示-2023-2024学年高一数学《赢在新起点》同步课堂备课讲义（人教A版2019必修第一册）

3.1函数的概念及其表示 知识点 一 函数的概念 1 概念 设是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系，使对于集合中的任意一个数，在集合中都有唯一确定的数和它对应，那么就称为从 的一个函数．记作：．其中，叫做 ，的取值范围叫做函数的 ；与的值相对应的值叫做 ，函数值的集合叫做函数的 ． 2 定义域 ① 概念 函数自变量的取值范围. ② 求函数的定义域主要应考虑以下几点 (1)分式的分母 ； (2)偶次方根的被开方数 ； (3)对数式的真数必须 ；(4)指数、对数式的底必须大于零且 ； (5)指数为零底不可以等于零；(6)抽象函数的定义域较为复杂. 3 值域 ① 概念 函数值的取值范围 ② 求值域的方法 (1)配方法 (2)数形结合 (3) 换元法 (4)函数单调性法 (5)分离常数法 (6)基本不等式法 4 区间 实数集表示为. 二 函数的表示方法 1表格法 如上表，我们很容易看到与之间的函数关系. 在初中刚学画一次函数图像时，第一步就是列表，其实就是用表格法表示一次函数. 2 图像法 如上图，很清晰的看到某天空气质量指数与时间两个变量之间的关系，特别是其趋势. 数学中的“数形结合”也就是这回事，它是数学一大思想，在高中解题中识图和画图尤为重要. 3 解析式 求函数解析式的方法 (1)配凑法 (2)待定系数法 (3)换元法 (4)构造方程组法 (5)代入法 典型例题 1、 求函数的值域 思路1 数形结合 求函数的值域. 思路2 配方法 求函数在区间的值域. 思路3 换元法 求函数的值域. 思路4 基本不等式法(对勾函数法) 求函数的值域. 思路5 函数单调性法 函数的值域为 . 思路6 分离常数法 求函数的值域. 二、求函数的定义域 函数的定义域是 . 三、 函数概念的理解 1、 给定的下列四个式子中，能确定是的函数的是(　　) ① ② ③ ④ ． ① ② ③ ．④ 2、设集合给出如下四个图形，其中能表示从集合到集合的函数关系的是 ( ) 基础题型训练 一、单选题 1．下列函数中哪个与函数y＝x相等（　　） A．y＝（）2 B．y C．y D．y 2．函数的图象大致是（    ） A． B． C． D． 3．下列各组函数中表示同一函数的是（   ） A．与 B．与 C．与 D．与 4．函数的图象大致是（    ） A． B． C． D． 5．小明骑车上学，开始时匀速行驶，途中因交通堵塞停留了一段时间，后为了赶时间加快速度行驶．与以上事件吻合得最好的图象是（　　） A． B． C． D． 6．下列四组函数和，表示同一函数的是（ ） A． B． C． D． 二、多选题 7．下列说法正确的是（    ） A．函数的值域是，则函数的值域为 B．既是奇函数又是偶函数的函数有无数个 C．若，则 D．函数的定义域是，则函数的定义域为 8．已知函数，则（    ） A． B． C．的最小值为1 D．的图象与轴有1个交点 三、填空题 9．函数的定义域为________________． 10．已知A＝{x|x＝n2，n∈N}，给出下列关系式： ①f (x)＝x；②f (x)＝x2；③f (x)＝x3；④f (x)＝x4；⑤f (x)＝x2＋1，其中能够表示函数f：A→A的是________． 11．若函数的定义域与值域相同，则___________. 12．已知，求=_______________. 四、解答题 13．已知函数，且，求的定义域和值域． 14．已知函数的定义域为,值域为,求. 15．求下列函数的值域 (1) (2) 16．已知函数的定义域为，且函数满足，若，求的值． 提升题型训练 一、单选题 1．已知函数，那么的值（    ）． A． B． C． D． 2．下列各组函数为同一函数的是（　  　） A． B． C． D． 3．已知函数若存在唯一的整数x，使得成立，则所有满足条件的整数a的取值集合为（    ） A． B． C． D． 4．设函数，若，，则关于的方程的解的个数为 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 5．已知函数，令，则不等式的解集是（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 6．已知定义在R上的单调函数，其值域也是R，并且对任意，都有 ，则等于（ ） A．0 B．1 C． D．2019 二、多选题 7．设函数的定义域为，满足，且当时，．若对任意，都有，则的值可以是（    ）． A． B．1 C． D．2 8．已知函数的值域为，则a的值可以是（    ） A． B．