预习课05 用空间向量研究直线、平面的平行（讲+练）-【暑假教程】2023年高一升高二数学暑假复习+预习（人教A版2019选择性必修第一册）

预习课05 用空间向量研究直线、平面的平行 1 空间中点的向量表示 在空间中，我们取一定点作为基点，那么空间中任意一点就可以用向量来表示，我们把向量称为点的位置向量. 2 空间中直线的向量表示 (1)直线的方向向量 若是直线上的任意两点，则为直线的一个方向向量；与平行的任意非零向量也是直线的方向向量. 注 同一直线的方向向量不唯一. 【例】若在直线上，则直线的一个方向向量为　　 A． B． C． D． 3 空间中平面的向量表示 (1)空间中任意平面由空间一点及两个不共线的向量唯一确定 取定空间任意一点，空间一点位于平面内的充要条件是存在实数，， 使. (2)空间中任意平面由空间一点及平面的法向量唯一确定 ①若向量所在直线垂直于平面，则称这个向量垂直于平面，记作，向量叫做平面的法向量. 注 一平面的法向量不唯一. 【例】正方体中，边长为，那以下 是平面的法向量， 是平面的法向量. A． B． C． D． (3)平面的法向量的求法(待定系数法) ① 建立适当的坐标系； ② 设平面的法向量为； ③ 求出平面内两个不共线向量的坐标 ； ④ 根据法向量定义建立方程组 ⑤ 解方程组，取其中一组解，即得平面的法向量. 4 判定空间中的平行关系 (1)线线平行 设直线的方向向量分别是， 则要证明，只需证明，即 (2)线面平行 设直线的方向向量是，平面的法向量是，且， 则要证明，只需证明，即 【例】设是平面的法向量，是直线的方向向量，则直线与的位置关系是　　 A． B． C． D．或 (3)面面平行 若平面的法向量为，平面的法向量为，要证，只需证 ，即证 【例】若两个不同平面，的法向量分别为，则( ) A． B． C．，相交但不垂直 D．以上均不正确 【题型一】 证明线面平行 【典题1】 如图，在正方体中，分别是面，面的中心，求证：平面. 变式练习 1.如图，在长方体中，，，分别为的中点．分别以所在直线为轴、轴、轴建立空间直角坐标系． ①求点的坐标； ②求证：平面． 2.如图，在四棱锥中，平面，与底面所成的角为45°，底面为直角梯形，，，问在棱上是否存在一点，使平面？若存在，求出点的位置；若不存在，请说明理由． 【题型二】 证明面面平行 【典题1】 已知正方体的棱长为，分别是的中点，求证： (1) 平面；(2)平面平面． 变式练习 1.如图，在长方体中，，，.求证：平面平面. 2.如图所示，在正方体中，分别是的中点，求证： （1）；（2）平面；（3）平面平面。 【A组---基础题】 1.用向量方法证明“直线与平面平行的判定定理”：若平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行。 2.在正方体，是棱的中点。在棱上是否存在一点F，使平面?证明你的结论。 3.证明“平面与平面平行的判定定理”：若一个平面内两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行. 4.如图，在直三棱柱中，，为的中点，，分别是棱，上的点，且． (1) 求证:直线∥平面； (2) 若是正三角形为中点，能否在线段上找一点，使得平面？若存在，确定该点位置；若不存在，说明理由． 【B组---提高题】 1在三棱柱中，侧棱垂直于底面，在底面中是上一点，且面，为的中点，求证：面面. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $ 预习课05 用空间向量研究直线、平面的平行 1 空间中点的向量表示 在空间中，我们取一定点作为基点，那么空间中任意一点就可以用向量来表示，我们把向量称为点的位置向量. 2 空间中直线的向量表示 (1)直线的方向向量 若是直线上的任意两点，则为直线的一个方向向量；与平行的任意非零向量也是直线的方向向量. 注 同一直线的方向向量不唯一. 【例】若在直线上，则直线的一个方向向量为　　 A． B． C． D． 解 在直线上，则直线的一个方向向量为：， 故选：． 3 空间中平面的向量表示 (1)空间中任意平面由空间一点及两个不共线的向量唯一确定 取定空间任意一点，空间一点位于平面内的充要条件是存在实数，， 使. (2)空间中任意平面由空间一点及平面的法向量唯一确定 ①若向量所在直线垂直于平面，则称这个向量垂直于平面，记作，向量叫做平面的法向量. 注 一平面的法向量不唯一. 【例】正方体中，边长为，那以下 是平面的法向量， 是平面的法向量. A． B． C． D． 解 因为平面，所以是平面的法向量； 因为平面，所以是平面的法向量，向量平行， 所以也是平面的法向量； 故填，. (3)平面的法向量的求法(待定系数法) ① 建立适当的坐标系； ② 设平面的法向量为； ③ 求出平面内两个不共线向量的坐标 ； ④ 根据法向量定义建立方程组 ⑤ 解方程组，取其中