第01讲 3.1.1函数的概念（知识清单+17类热点题型精讲+强化分层精练）-【帮课堂】2023-2024学年高一数学同步学与练（人教A版2019必修第一册）

第01讲 3.1.1函数的概念 课程标准 学习目标 ①函数的概念； ②了解函数的三要素； ③掌握简单函数的定义域； ④掌握求函数的值； ⑤掌握区间的写法. 通过本节课的学习，掌握函数概念及函数的三要素，会判断同一函数，会求简单函数的定义域及值域. 知识点01：函数的概念 1、初中学习的函数的传统定义 设在一个变化的过程中，有两个变量和，如果给定了一个值，相应地就有唯一确定的一个值与之对应，那么我们就称是的函数，其中是自变量，是因变量.它们描述的是两个变量之间的依赖关系. 2、函数的近代定义 一般地，设，是非空的实数集，如果对于集合中的任意一个数，按照某种确定的对应关系，在集合中都有唯一确定的数和它对应，那么就称为从集合到集合的一个函数(function)，记作，.其中，叫做自变量，的取值范围叫做函数的定义域；与的值相对应的值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域．显然，值域是集合的子集. 函数的四个特征： ①非空性：，必须为非空数集（注意不仅非空，还要是数集），定义域或值域为空集的函数是不存在的. ②任意性：即定义域中的每一个元素都有函数值. ③单值性：每一个自变量有且仅有唯一的函数值与之对应（可以多对一，不能一对多）. ④方向性：函数是一个从定义域到值域的对应关系，如果改变这个对应方向，那么新的对应所确定 的关系就不一定是函数关系. 【即学即练1】（多选）（2023·全国·高三专题练习）下列四个图象中，是函数图象的是（    ） A．     B．   C．   D．   【答案】ACD 【详解】由函数的定义可知，对任意的自变量，有唯一的值相对应， 选项B中的图像不是函数图像，出现了一对多的情况， 其中选项A、C、D皆符合函数的定义，可以表示是函数. 故选：ACD 知识点02：函数的三要素 1、定义域：函数的定义域是自变量的取值范围． 2、对应关系：对应关系是函数的核心，它是对自变量实施“对应操作”的“程序”或者“方法”． 3、值域：与的值相对应的值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域(range). 【即学即练2】（2023·上海普陀·统考二模）函数的定义域为______． 【答案】 【详解】， ，或 所以定义域为：. 故答案为： 知识点03：函数相等 同一函数：只有当两个函数的定义域和对应关系都分别相同时,这两个函数才相等,即是同一个函数. 【即学即练3】（2023·全国·高一专题练习）下列四组函数中，表示同一函数的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】D 【详解】对选项A，因为定义域为R，定义域为R，定义域相同， 但，所以，不是同一函数，故A错误； 对选项B，因为定义域为R，定义域为， 定义域不同，所以，不是同一函数，故B错误； 对选项C，因为定义域为，定义域为， 定义域不同，所以，不是同一函数，故C错误； 对选项D，因为定义域为R，定义域为R， 又，所以，是同一函数，故D正确. 故选：D 知识点04：区间的概念 1区间的概念 设 ， 是实数，且，满足的实数的全体，叫做闭区间， 记作，即，。如图：， 叫做区间的端点．在数轴上表示一个区间时，若区间包括端点，则端点用实心点表示；若区间不包括端点，则端点用空心点表示． 集合 区间 2含有无穷大的表示 全体实数也可用区间表示为，符号“”读作“正无穷大”，“”读作“负无穷大”，即。 集合 区间 【即学即练4】（2023秋·广东广州·高一西关培英中学校考期末）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：因为集合，， 所以，即， 故选：B. 题型01 函数关系的判断 【典例1】（2023秋·湖北襄阳·高一襄阳四中校考阶段练习）若函数的定义域为，值域为，则的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【典例2】（2023春·江西新余·高一新余市第一中学校考阶段练习）已知集合，，下列对应关系中，从到的函数为（    ） A．f： B．f： C．f： D．f： 【变式1】（多选）（2023秋·江苏扬州·高一校考期末）下列对应中是函数的是（    ）． A．，其中，， B．，其中，， C．，其中y为不大于x的最大整数，， D．，其中，， 题型02 集合与区间的转化 【典例1】（2023秋·江苏南通·高三统考期末）已知全集,集合,则（   ） A． B． C． D． 【典例2】（2023秋·广东广州·高一广州市海珠中学校考期末）若集合，，则（    ） A． B． C． D． 【变式1】（2023·全国·高三专题练习）全集，集合，集合，则（    ） A． B． C． D． 题型03同一个函数 【典例1】（2023·全国·高一专题练习）下列各组函数表示