专题01 勾股定理中的最短路径问题与翻折问题-2023-2024学年八年级数学上册重难点专题提升精讲精练（北师大版）

专题01 勾股定理中的最短路径问题与翻折问题 【题型目录】 题型一 与长方形有关的最短路径问题 题型二 与圆柱有关的最短路径问题 题型三 与台阶有关的最短路径问题 题型四 将军饮马与最短路径问题 题型五 几何图形中的翻折、旋转问题 重难点训练 勾股定理中的15道最短路径问题专训 勾股定理中的15道翻折、旋转问题专训 【知识梳理】 勾股定理中的最短路径问题 几何体中最短路径基本模型如下： 基本思路：将立体图形展开成平面图形，利用两点之间线段最短确定最短路线，构造直角三角形，利用勾股定理求解． 勾股定理中的翻折问题 勾股定理在有关图形折叠计算的问题中的共同方法是：在图形中找到一个直角三角形，然后设图形中某一未知数为x，将此三角形中的三边长用具体数或含x的代数式表示，再利用勾股定理列出方程，从而得出要求的线段的长度． 【经典例题一 与长方形有关的最短路径问题】 【解题思路】计算跟长方体有关的最短路径问题时，要熟悉长方体的侧面展开图，利用两点之间线段最短结合勾股定理进行求解，注意长方体展开图的多种情况和分类讨论． 要点总结：1）长方体展开图分类讨论时可按照“前＋右”、“前＋上”和“左＋上”三种情况进行讨论； 2）两个端点中有一个不在定点时讨论方法跟第一类相同． 【例1】（2023秋·四川成都·八年级统考期末）一个长方体盒子的长、宽、高分别为，，，点离点的距离是，一只蚂蚁想从盒底的点沿盒的表面爬到点，蚂蚁爬行的最短路程是（  ）    A． B． C． D． 【变式训练】 1．（2022秋·广东梅州·八年级校考阶段练习）如图，长方体的长、宽、高分别为 ．如果一只小虫从点 开始爬行，经过两个侧面爬行到另一条侧棱的中点 处，那么这只小虫所爬行的最短路程为（　　）    A．5 B．4 C．6 D．7 2．（2023·四川广安·统考中考真题）如图，圆柱形玻璃杯的杯高为，底面周长为，在杯内壁离杯底的点处有一滴蜂蜜，此时，一只蚂蚁正好在杯外壁上，它在离杯上沿，且与蜂蜜相对的点处，则蚂蚁从外壁处到内壁处所走的最短路程为___________．（杯壁厚度不计）    3．（2023春·湖南永州·八年级校考阶段练习）如图是长、宽、高的长方体容器． (1)求底面矩形的对角线的长； (2)长方体容器内可完全放入的棍子最长是多少？ (3)一只蚂蚁从D点爬到E点最短路径是多少？ 【经典例题二 与圆柱有关的最短路径问题】 【解题思路】计算跟圆柱有关的最短路径问题时，要注意圆柱的侧面展开图为矩形，利用两点之间线段最短结合勾股定理进行求解，注意展开后两个端点的位置，有时候需要用底面圆的周长进行计算，有时候需要用底面圆周长的一半进行计算． 要点总结： 1）运用勾股定理计算最短路径时，按照展开—定点—连线—勾股定理的步骤进行计算； 2）缠绕类题型可以求出一圈的最短长度后乘以圈数． 【例2】（2023春·河南新乡·八年级新乡市第十中学校考期末）如图，小冰想用一条彩带缠绕圆柱4圈，正好从A点绕到正上方的B点，已知知圆柱底面周长是3m，高为16m，则所需彩带最短是（　　）m．    A．8 B．5 C．20 D．10 【变式训练】 1．（2023春·安徽·八年级期中）如图，圆柱形容器高为，底面周长为，在杯内壁离杯底的点B处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁从外壁A处到达内壁B处的最短距离为（　　） A． B． C． D． 2．（2023春·安徽合肥·八年级合肥寿春中学校考期中）如图，一个圆柱形食品盒，它的高为，底面圆的周长为 (1)点A位于盒外底面的边缘，如果在A处有一只蚂蚁，它想吃到盒外表面对侧中点B处的食物，则蚂蚁需要爬行的最短路程是______； (2)将左图改为一个无盖的圆柱形食品盒，点C距离下底面，此时蚂蚁从C处出发，爬到盒内表面对侧中点B处(如右图)，则蚂蚁爬行的最短路程是___． 3．（2022秋·广东佛山·八年级统考期末）初中几何的学习始于空间的“实物和具体模型”，聚焦平面的“几何图形的特征和运用”，形成了空间几何问题要转化为平面几何问题的解题策略． 问题提出：如图所示是放在桌面上的一个圆柱体，一只蚂蚁从点出发沿着圆柱体的表面爬行到点，如何求最短路程呢？ (1)问题分析：蚂蚁从点出发沿着圆柱体的表面爬行到点，可以有几条路径？在图中画出来； (2)问题探究：①若圆柱体的底面圆的周长为，高为，蚂蚁从点出发沿着圆柱体的表面爬行到点，求最短路程； ②若圆柱体的底面圆的周长为，高为，蚂蚁从点出发沿着圆柱体的表面爬行到点，求最短路程； ③若圆柱体的底面圆的半径为，高为，一只蚂蚁从点出发沿着圆柱体的表面爬行到点，求最短路程． 【经典例题三 与台阶有关的最短路径问题】 【解题思路】根据两点之间线段之和最