(教参)第4章 2 一次函数与正比例函数-【提分教练】2022-2023学年八年级数学上册同步(北师大版)

2　一次函数与正比例函数 学习目标 1. 结合具体情境理解一次函数的意义，能结合实际问题中的数量关系写出一次函数的关系式 2. 能辨别正比例函数与一次函数的区别与联系 3. 能利用一次函数解决简单的实际问题 素养目标 1. 灵活运用数形结合解决函数问题，培养学生分析问题、解决问题的能力 2. 把分类讨论思想融入解函数问题里，增强学生思维的缜密性和逻辑性 一、一次函数 若两个变量x，y间的对应关系可以表示成　y＝kx＋b　(k，b为常数，k≠0)的形式，则称y是x的　一次函数　. 1. 在下列函数中，是一次函数的有(　A　) ①y＝πx；②y＝2x－1；③y＝； ④y＝2－1－3x；⑤y＝x2－x(x－1)． A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 解析：①②④⑤符合一次函数的定义；③y＝的自变量的次数不是1，不是一次函数． 2. 下列问题中，变量y与x成一次函数关系的是(　D　) A. 路程一定时，时间y(h)和速度x(km/h)的关系 B. 斜边长为5 cm的直角三角形的直角边y(cm)和x(cm) C. 圆的面积y(cm2)与它的半径x(cm) D. 10 m长的铁丝折成长为y(m)，宽为x(m)的长方形 解析：A. 设路程是s，则根据题意，知s＝xy，时间y和速度x不是一次函数关系，故不符合题意；B. 根据题意，知x2＋y2＝25，不是一次函数，故不符合题意；C. 根据题意，知y＝πx2，不是一次函数，故不符合题意；D. 根据题意，知10＝2(x＋y)，即y＝－x＋5，符合一次函数的定义，故符合题意． 二、正比例函数 若两个变量x，y间的对应关系可以表示成y＝kx＋b(k，b为常数，k≠0)的形式，当b＝0时，称y是x的　正比例　函数． 1. 下列函数中，属于正比例函数的是(　A　) A. y＝ B. y＝－x＋1 C. y＝ D. y＝x2－1 2. 下列问题中，两个变量成正比例的是(　C　) A. 圆的面积S与它的半径r B. 三角形面积S一定时，某一边a和该边上的高h C. 正方形的周长C与它的边长a D. 周长不变的长方形的长a与宽b 解析：A. 圆的面积S＝πr2，不是正比例函数，不符合题意；B. 三角形面积S一定时，它的一边a和该边上的高h的关系为S＝ah，不是正比例函数，不符合题意；C. 正方形的周长C＝边长×4＝4a，是正比例函数，符合题意；D. 设周长为C，则依题意，得C＝2(a＋b)，则a与b不是正比例关系，不符合题意． 　一次函数的应用 某中学要添置某种教学仪器．方案一：到商店购买，每件需要8元；方案二：学校自己制作，每件需要4元，但另外需要制作工具的租用费120元．设需要仪器x件，方案一的费用为y1元，方案二的费用为y2元． 探究1：分别求出y1，y2关于x的函数表达式． 解：y1＝8x，y2＝4x＋120. 探究2：购买仪器多少件时，两种方案的费用相同？ 解：依题意，得y1＝y2， 即8x＝4x＋120， 解得x＝30. 所以购买仪器30件时，两种方案的费用相同． 探究3：若学校需要添置仪器50件，则选择哪种方案费用低些？ 解：把x＝50分别代入y1＝8x，y2＝4x＋120中， 得y1＝8×50＝400，y2＝4×50＋120＝320. 因为y1＞y2，所以当学校需要添置仪器50件时，选择方案二费用低些． 元旦某公司老板准备和员工去上海旅游，甲旅行社承诺：“老板一人免费，员工可享受八折优惠．”乙旅行社承诺：“包括老板在内所有人按全票的七五折优惠．”若全票价为2 000元． (1)设参加旅游的员工人数为x人，甲、乙旅行社收费分别为y甲(元)和y乙(元)，直接写出两个旅行社收费的函数表达式； (2)当员工有10人时，哪家旅行社更优惠？并说明理由． 解：(1)由题意，得 y甲＝2 000x×0.8＝1 600x. y乙＝2 000(x＋1)×0.75＝1 500x＋1 500. 即y甲＝1 600x，y乙＝1 500x＋1 500. (2)当员工有10人时，甲旅行社更优惠．理由如下： 当x＝10时， y甲＝1 600×10＝16 000. y乙＝1 500×10＋1 500＝16 500. 因为16 000＜16 500， 所以当员工有10人时，甲旅行社更优惠． 知识点1　一次函数与正比例函数 若两个变量x，y间的对应关系可以表示成y＝kx＋b(k，b为常数，k≠0)的形式，则称y是x的一次函数．特别地，当b＝0时，称y是x的正比例函数． 【考点诠释】 (1)判断一个函数是一次函数的条件 辨别一次函数，需明确以下三点：①形式y＝kx＋b；自变量是一次整式，一次项系数不为零；②x的次数为1；③x的系数不为0. (2)判断一个函数是正比例函数的条件 自变量是一次整式，