1.3.2空间向量运算的坐标表示（教学设计）-【上好课】高二数学同步备课系列（人教A版2019选择性必修第一册）

1.3.2空间向量运算的坐标表示（教学设计） 一、教学内容 1.本小节研究空间向量运算的坐标表示，并用向量运算的坐标表示研究空间平行、垂直、夹角、距离； 2.空间向量的模夹角以及两点间距离公式，空间向量垂直与平行的条件及其应用等. 二、教学目标 1.掌握空间向量的坐标运算； 2.会根据向量的坐标，判断两个向量共线或垂直； 3.掌握向量长度公式、两向量夹角公式、空间两点间距离公式； 4.会应用这些知识解决简单的立体几何问题. 三、教学重点与难点 重点 1. 利用空间向量的运算证明解决空间中直线、平面的平行与垂直问题； 2. 利用空间向量的运算求两点间的距离. 难点 1.利用空间向量的坐标运算求两条异面直线所成的角 2.运用空间向量的坐标运算解决简单的立体几何问题 四、教学过程设计 1.3.2 空间向量运算的坐标表示 环节一：创设情境，引入课题 探究 问题1：有了空间向量的坐标表示，你能类比平面向量的坐标运算，得出空间向量运算的坐标表示并给出证明吗？ 知识点1 空间向量及其运算的坐标表示 设，， 与平面向量运算的坐标表示一样，我们有： ， ， ，， ． 点评:空间向量运算的坐标表示与平面向量运算的坐标表示完全一致 环节二：观察分析，感知概念 下面我们证明空间向量数量积运算的坐标表示．其他运算的坐标表示可以类似证明，请同学们自己完成． 设为空间的一个单位正交基底，则，， 所以． 利用向量数量积的分配律以及，， 得． 点评:通过“探究”中的问题，引导学生进行自主研究.教学中应放手让学生展开探究活动，得出结论并给出证明. 环节三：抽象概括，形成概念 由上述结论可知，空间向量运算的坐标表示与平面向量运算的坐标表示是完全一致的．例如，我们有： 一个空间向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标减去起点坐标． 类似平面向量运算的坐标表示，我们还可以得到： 知识点2：空间向量共线或平行的判定 当时，，，（）； ； 知识点3.空间向量的模 ； 知识点4.空间向量的夹角公式 ． 点评:空间两向量平行与平面两向量平行的坐标表达式不一样，但实质一致，即对应坐标成比例.空间两向量垂直的坐标表达式同平面两向量垂直的坐标表达式类似. 环节四：辨析理解，深化概念 知识点5.空间两点之间的距离公式 探究 问题2：你能利用空间向量运算的坐标表示推导空间两点间的距离公式吗？ 如图1.3-7建立空间直角坐标系，设，是空间中任意两点，则 ． 于是 所以 ． 这就是空间两点间的距离公式． 将空间向量的运算与向量的坐标表示结合起来，不仅可以解决夹角和距离的计算问题，而且可以使一些问题的解决变得简单．: 点评:空间向量长度公式的形式与平面向量长度公式一致，教学时可用类比的方法进行.它的几何意义是长方体对角线的长度. 环节五：课堂练习，巩固运用 例2 如图1.3-8，在正方体中，，分别是，的中点．求证． 分析：要证明，只要证明，即证．我们只要用坐标表示，，并进行数量积即可．证明垂直和利用空间向量的坐标运算求夹角的问题，并通过向量及其坐标的运算求解问题. 证明：不妨设正方体的棱长为1，建立如图1.3-8所示的空间直角坐标系，则 ，，所以． 又，，所以． 所以．所以，即． 问题3：你能从本题的解答中体会到根据问题的特点，建立适当的空间直角坐标系，用向量表示相关元素，并通过向量及其坐标的运算求解问题的基本思路吗？ 点评:目的是使学生体会“根据问题特点建立适当的空间直角坐标系，用向量表示相关元素，并通过向量及其坐标的运算求解问题”的基本思路.本题中，正方体的特征很明显，以此为背景建立空间直角坐标系难度不大.教学中，还可以让学生尝试建立不同的坐标系解决问题，使学生体会“适当”的含义. 例3 如图1.3-9，在棱长为1的正方体中，为的中点，，分别在棱，上，，． （1）求的长． （2）求与所成角的余弦值． 分析：（1）利用条件建立适当的空间直角坐标系，写出点，的坐标，利用空间两点间的距离公式求出的长．（2）与所成的角就是，所成的角或它的补角．因此，可以通过，的坐标运算得到结果．根据条件建立适当的空间直角坐标系,用向量表示相关元素，并通过向量及其坐标的运算求解问题. 解：（1）建立如图1.3-9所示的空间直角坐标系，则点的坐标为，点的坐标为．于是． （2）由已知，得，，，， 所以，， ，． 所以， 所以． 所以，与所成角的余弦值为． 点评:目的是使学生进一步体会例2中求解问题的基本思路.对于问题(1),在建立空间直角坐标系后，要注意引导学生利用空间两点间的距离公式求解.对于问题(2),要注意引导学生用坐标表示向量的数量积运算中涉及的向量.教学时，还可以提示学生用综合法解决本题目，进而与教科书中的方法进行比较. 环节六 归纳总结，反思提升 1. 基本知识: 空间向量运