第23讲 平面向量基本定理和坐标表示（精讲）-【一轮复习讲义】2024年高考数学高频考点题型归纳与方法总结（新高考通用）

【一轮复习讲义】2024年高考数学高频考点题型归纳与方法总结（新高考通用） 第23讲 平面向量基本定理和坐标表示（精讲） 题型目录一览 ①平面向量基本定理的应用 ②平面向量的坐标运算 ③向量共线的坐标表示 一、知识点梳理 一、平面向量基本定理和性质 （1）共线向量定理 如果，则；反之，如果且，则一定存在唯一的实数，使．（口诀：数乘即得平行，平行必有数乘）． （2）三点共线定理 平面内三点A，B，C共线的充要条件是：存在实数，使，其中，为平面内一点． 若A、B、C三点共线存在唯一的实数，使得存在唯一的实数，使得 存在唯一的实数，使得存在，使得． （3）中线向量定理 如图所示，在中，若点D是边BC的中点，则中线向量，反之亦正确． D A C B 二、平面向量的坐标表示及坐标运算 （1）平面向量的坐标表示 在平面直角坐标中，分别取与轴，轴正半轴方向相同的两个单位向量作为基底，那么由平面向量基本定理可知，对于平面内的一个向量，有且只有一对实数使，我们把有序实数对叫做向量的坐标，记作． （2）向量的坐标表示和以坐标原点为起点的向量是一一对应的，即有 向量向量点． （3）设，，则，，即两个向量的和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差． 若，为实数，则，即实数与向量的积的坐标，等于用该实数乘原来向量的相应坐标． （4）设，，则=，即一个向量的坐标等于该向量的有向线段的终点的坐标减去始点坐标． 三、平面向量的直角坐标运算 ①已知点，，则， ②已知，，则，， 【常用结论】 ①减法公式：，常用于向量式的化简． ②、、三点共线，这是直线的向量式方程． ③ 二、题型分类精讲 题型一 平面向量基本定理的应用 策略方法 平面向量基本定理解决问题的一般思路 (1)先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示为向量的形式，再通过向量的运算来解决． (2)在基底未给出的情况下，合理地选取基底会给解题带来方便．另外，要熟练运用平面几何的一些性质定理． 【典例1】在平行四边形ABCD中，，.    (1)如图1，如果E、F分别是BC，DC的中点，试用分别表示； (2)如图2，如果O是AC与BD的交点，G是DO的中点，试用表示. 【题型训练】 一、单选题 1．（2023春·重庆万州·高三重庆市万州第二高级中学校考阶段练习）在中，，E为AD中点，则（    ） A． B． C． D． 2．（2023·广东汕头·统考三模）如图，点D、E分别AC、BC的中点，设，，F是DE的中点，则（    ） A． B． C． D． 3．（2023·四川泸州·四川省泸县第四中学校考模拟预测）在平行四边形中，M为的中点，，则（    ） A． B． C． D． 4．（2023·山西大同·统考模拟预测）在△ABC中，D为BC中点，M为AD中点，，则（    ） A． B． C．1 D． 5．（2023·内蒙古赤峰·赤峰二中校联考模拟预测）在中，是中线的中点，过点的直线交边于点M，交边于点N，且，，则（    ） A． B．2 C． D．4 6．（2023·全国·高三专题练习）在平行四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，点E是线段OD的中点，AE的延长线与CD交于点F，若＝a，＝b，且＝λa＋μb，则λ＋μ等于（　　）    A．1 B． C． D． 二、多选题 7．（2023·江苏苏州·模拟预测）在中，记，，点在直线上，且.若，则的值可能为（    ） A． B． C． D．2 8．（2023·全国·高三专题练习）如图，在中，若点，，分别是，，的中点，设，，交于一点，则下列结论中成立的是（    ） A． B． C． D． 三、填空题 9．（2023春·贵州黔东南·高三校考阶段练习）在中，若点满足，设，则______. 10．（2023·江苏镇江·江苏省镇江中学校考三模）在中，，点是的中点.若存在实数使得，则__________（请用数字作答）. 11．（2023·福建漳州·统考三模）已知，点D满足，点E为线段CD上异于C，D的动点，若，则的取值范围是_________. 四、解答题 12．（2023春·湖南长沙·高三校联考期中）如图在△ABC中，点D是AC的中点，点E是BD的中点，设＝，＝. (1)用表示向量； (2)若点F在AC上，且，求AF∶CF. 题型二 平面向量的坐标运算 策略方法 平面向量坐标运算的技巧 (1)利用向量加、减、数乘运算的法则来进行求解，若已知有向线段两端点的坐标，则应先求向量的坐标． (2)解题过程中，常利用“向量相等，则坐标相同”这一结论，由此可列方程(组)进行求解． 【典例1】如图，平面上，，三点的坐标分别为,,. (1)写出向量，，的坐标； (2)如果四边形是平行四边形，求的坐标. 【题型训练】 一、单选题 1．（2023·全国·高三专