(教参)第1章 1.2 课时2 相似三角形的判定-【提分教练】2022-2023学年九年级数学上册同步（青岛版）

课时2　相似三角形的判定 学习目标 1. 了解相似三角形的定义，能用符号表示相似三角形． 2. 掌握相似三角形的判定定理，并能应用判定定理进行相关计算和证明． 3. 掌握相似三角形的简单应用. 素养目标 经历由三角形全等的判定条件推导出相似三角形的判定定理的过程，体会类比方法在数学中的应用，培养学生的发现、比较、归纳能力. 一、相似三角形的判定定理 1. 两角分别　相等　的两个三角形相似． 2. 两边　成比例　，且夹角　相等　的两个三角形相似． 3. 三边　成比例　的两个三角形相似． 二、相似三角形的应用 利用三角形相似解决实际问题，关键是从实际问题中抽象出数学模型，找到相似的三角形． 1. 下列命题中错误的是(　B　) A. 两个全等的三角形一定相似 B. 两个直角三角形一定相似 C. 两个相似三角形的对应角相等，对应边成比例 D. 相似的两个三角形不一定全等 解析：全等的三角形对应角一定相等，对应边成比例，故A选项正确．等腰直角三角形和三个内角分别是60°，30°，90°的直角三角形就不相似，故B选项错误．由相似三角形的定义知，C选项正确．全等三角形的对应边相等，相似三角形对应边成比例即可，故D选项正确．故选B. 2. 在△ABC和△A′B′C′中，已知∠B＝∠B′，AB＝6，BC＝8，B′C′＝4，那么当A′B′＝　3　时，△ABC∽△A′B′C′. 解析：两边成比例，且夹角相等的两个三角形相似．因为∠B＝∠B′，所以当＝＝＝时，△ABC∽△A′B′C′，故＝，∴A′B′＝3. 3. 如图，∠BAC＝∠EAD，AB＝24，AC＝48，AE＝17，AD＝34，求证：△ABC∽△AED. 证明：∵AB＝24，AC＝48，AE＝17，AD＝34， ∴＝. 又∵∠BAC＝∠EAD， ∴△ABC∽△AED. 　三角形相似之分类讨论类 如图，在平面直角坐标系中，已知OA＝6 cm，OB＝8 cm.点P从点B开始沿BA边以1 cm/s 的速度向终点A运动，点Q从点A开始沿AO边以1 cm/s的速度向终点O运动，有一点到达终点，另一点也停止运动．若P，Q同时出发，运动时间为t(s)． 探究1：用含t的代数式表示AQ＝　t　cm，AP＝　(10－t)　 cm； 解析：∵OA＝6 cm，OB＝8 cm， ∴AB＝＝＝10(cm)． ∵点P的速度是1 cm/s，点Q的速度是1 cm/s， ∴AQ＝t cm，AP＝(10－t)cm. 探究2：当t为何值时，△APQ与△AOB相似？ 解：∵∠A是公共角， ∴△APQ与△AOB相似分两种情况： ①当∠APQ是直角时，△APQ∽△AOB， ∴＝， 即＝， 解得t＝＞6，舍去； ②当∠AQP是直角时，△AQP∽△AOB， ∴＝， 即＝， 解得t＝. 综上，当t＝时，△APQ与△AOB相似． 1. 如图，P是Rt△ABC斜边AB上任意一点(A，B两点除外)，过点P作一条直线，使截得的三角形与△ABC相似，这样的直线可以作(　B　) A. 4条 B. 3条 C. 2条 D. 1条 解析：如图，过点P可作PE∥BC或PE″∥AC，可得△APE∽△ABC，△PBE″∽△ABC；过点P还可作PE′⊥AB，可得∠E′PA＝∠C＝90°，∠A＝∠A，∴△APE′∽△ACB.故满足条件的直线可以作3条．故选B. 2. 如图，在△ABC中，∠C＝90°，BC＝8 cm，AC∶AB＝3∶5，动点P，Q分别从点C，A同时出发，点P以3 cm/s 的速度沿CB向点B移动，点Q以1 cm/s的速度沿AC向点C移动．经过多少秒，以C，P，Q为顶点的三角形与△ABC相似？ 解：∵BC＝8 cm，AC∶AB＝3∶5，∠C＝90°， ∴由勾股定理可得AC＝6 cm，AB＝10 cm. 设经过t s，以C，P，Q为顶点的三角形与△ABC相似， 此时，CP＝3t cm，CQ＝(6－t)cm. ①若△QPC∽△ABC， 则＝，即＝， 解得t＝； ②若△PQC∽△ABC， 则＝，即＝， 解得t＝1.2. 综上，经过 s或1.2 s时，以C，P，Q为顶点的三角形与△ABC相似． 知识点　相似三角形的判定定理 (1)两角分别相等的两个三角形相似． (2)两边成比例，且夹角相等的两个三角形相似． (3)三边成比例的两个三角形相似． 【考点诠释】 (1)用相似符号“∽”表示两个相似三角形时，要把对应顶点写在对应位置上． (2)判断两个三角形是否相似，若已有一组角相等，只要看是否还有一组角对应相等即可，注意与三角形全等的判定的区别．解题过程中，特别注意公共角、对顶角、同角或等角等隐含条件． (3)对于判定定理2中的角一定是两边的夹角，不是任意的角．许多题目里，夹角是以公共角或者对顶角的形式出现的． 5/5 学科网（北京）股份有限公司