(教参)第2章 2 课时2 用配方法求解二次项系数不为1的一元二次方程-【提分教练】2022-2023学年九年级数学上册同步（北师大版）

课时2　用配方法求解二次项系数不为1的一元二次方程 学习目标 会用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程. 素养目标 1. 通过配方法将一元二次方程变形的过程，让学生进一步体会转化的思想方法，并增强他们的数学应用意识. 2. 通过交流、探索，进一步激发学生的学习热情和求知欲望. 用配方法求解二次项系数不为1的一元二次方程 将ax2＋bx＋c＝0化成　(x＋m)2＝n(n≥0)　的形式求解一元二次方程，一般步骤为一化、二移、三配、四开． 1. 用配方法解一元二次方程2x2＋4x－1＝0，配方后得到的方程是(　A　) A. (x＋1)2＝　　 B. (x－1)2＝　　 C. (x＋2)2＝　　 D. (x－2)2＝ 解析：方程移项，把二次项系数化为1，配方得到结果，即可作出判断． 2. 方程3x2－8x－3＝0配成(x－m)2＝n的形式为 　＝　. 解析：方程整理后，利用完全平方公式配方得到结果即可． 3. 解方程：2x2－4x－1＝0.(用配方法) 解：两边同除以2，得x2－2x－＝0， 移项，得x2－2x＝， 配方，得x2－2x＋1＝＋1， 即(x－1)2＝， 两边开平方，得x－1＝±， ∴x1＝1＋，x2＝1－. 　通过完全平方公式深入理解配方法 阅读下列材料： 利用完全平方公式，将多项式x2＋bx＋c变形为(x＋m)2＋n的形式， 例如： x2－8x＋17＝x2－2·x·4＋42－42＋17＝(x－4)2＋1. 根据材料，解决下列问题： 探究1: 填空：将多项式x2－2x＋3变形为(x＋m)2＋n的形式，并判断x2－2x＋3与0的大小关系； ∵x2－2x＋3＝(x－　1　)2＋　2　， ∴x2－2x＋3　＞　0(填“＞”“＜”或“＝”)． 探究2: 将多项式x2＋6x－9变形为(x＋m)2＋n的形式，并求出多项式的最小值； 解：x2＋6x－9＝x2＋6x＋9－18＝(x＋3)2－18， ∵(x＋3)2≥0， ∴当x＝－3时，x2＋6x－9有最小值，最小值为－18. 探究3: 求证：x，y取任何实数时，多项式x2＋y2－4x＋2y＋6的值总为正数． 证明：x2＋y2－4x＋2y＋6 ＝x2－4x＋4＋y2＋2y＋1＋1 ＝(x－2)2＋(y＋1)2＋1. ∵(x－2)2≥0，(y＋1)2≥0， ∴(x－2)2＋(y＋1)2＋1＞0， ∴x，y取任何实数时，多项式x2＋y2－4x＋2y＋6的值总为正数． 发现与探索． 小丽的思考： 对于代数式(a－3)2＋4， 无论a取何值，(a－3)2都大于等于0，再加上4，则代数式(a－3)2＋4大于等于4，则(a－3)2＋4有最小值为4. 根据小丽的思考解决下列问题： (1)说明：代数式a2－12a＋20的最小值为－16； (2)请仿照小丽的思考求代数式－a2＋10a－8的最大值． 解：(1)原式＝a2－12a＋36－36＋20 ＝(a－6)2－16， 无论a取何值，(a－6)2≥0， ∴(a－6)2－16≥－16， 则a2－12a＋20的最小值为－16. (2)∵(a－5)2≥0，即－(a－5)2≤0， ∴原式＝－(a2－10a＋8) ＝－(a2－10a＋25－25＋8) ＝－(a－5)2＋25－8 ＝－(a－5)2＋17≤17. 则－a2＋10a－8的最大值为17. 知识点　用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程 将ax2＋bx＋c＝0化成(x＋m)2＝n(n≥0)的形式求解一元二次方程，一般步骤为一化、二移、三配、四开，将二次项系数化为1后，其基本过程与二次项系数为1的一元二次方程的配方法相同． 【考点诠释】 用配方法解一元二次方程的步骤： (1)形如x2＋px＋q＝0型：第一步移项，把常数项移到右边；第二步配方，左右两边加上一次项系数一半的平方；第三步左边写成完全平方式；第四步，直接开方即可． (2)形如ax2＋bx＋c＝0型：方程两边同时除以二次项系数，即化成x2＋px＋q＝0，然后配方． 4/4 学科网（北京）股份有限公司 $