(教参)第2章 2 课时1 直接开平方法和配方法-【提分教练】2022-2023学年九年级数学上册同步（北师大版）

2　用配方法求解一元二次方程 课时1　直接开平方法和配方法 学习目标 1. 理解直接开平方法解一元二次方程的意义. 2. 会用配方法解二次项系数为1的一元二次方程. 素养目标 通过将一元二次方程变形的过程，让学生体会转化的思想方法，并增强学生的数学应用意识和能力，激发学习兴趣. 一、直接开平方法 形如(x＋m)2＝n(n≥0)的一元二次方程，可直接开平方降次为两个一元一次方程：　x＋m＝，x＋m＝－　. 二、用配方法解二次项系数为1的一元二次方程 当二次项系数为1时，将x2＋bx＋c＝0化成(x＋m)2＝n(n≥0)的形式求解一元二次方程． 1. 方程x2＝1的解是(　C　) A. x1＝0，x2＝1　　 B. x1＝0，x2＝－1　　 C. x1＝1，x2＝－1　 D. x1＝x2＝1 解析：方程两边开方，即可得出答案． 2. 一元二次方程x2－2x－5＝0配方后可化为　(x－1)2＝6　. 解析：∵x2－2x－5＝0，则x2－2x＝5， ∴x2－2x＋1＝5＋1， ∴(x－1)2＝6. 3. 解下列一元二次方程． (1)(x－1)2＝4；(2)x2－4x＋1＝0. 解：(1)两边开平方，得x－1＝±2， ∴x－1＝2或x－1＝－2， ∴x1＝3，x2＝－1. (2)移项，得x2－4x＝－1， 配方，得x2－4x＋4＝－1＋4， 即(x－2)2＝3， 两边开平方，得x－2＝±， 即x－2＝或x－2＝－， ∴x1＝2＋，x2＝2－. 　配方法解一元二次方程 探究1：填上适当的数，使下列等式成立： (1)x2＋4x＋　4　＝(x＋2)2； (2)x2－12x＋　36　＝(x－6)2； (3)x2＋x＋　　＝. 探究2：在探究1等式的左边，常数项和一次项系数有什么关系？ 解：常数项是一次项系数一半的平方． 探究3：用配方法解方程：x2＋x－1＝0. 解：移项，得x2＋x＝1， 配方，得x2＋x＋＝1＋， 即＝， 所以x＋＝±， 即x＋＝或x＋＝－， 所以x1＝，x2＝. 用配方法解一元二次方程x2－4x－6＝0，下列变形正确的是(　D　) A. (x－2)2＝－6＋4 B. (x－2)2＝6＋2 C. (x－2)2＝－6＋2 D. (x－2)2＝6＋4 　对多项式拆项进行配方 王老师安排喜欢探究问题的小明同学解决某个问题前，先让小明看了一个有解答过程的例题． 例：若m2＋2mn＋2n2－6n＋9＝0，求m和n的值． 解：∵m2＋2mn＋2n2－6n＋9＝0， ∴m2＋2mn＋n2＋n2－6n＋9＝0. 即(m＋n)2＋(n－3)2＝0， ∴m＋n＝0，n－3＝0， ∴m＝－3，n＝3. 为什么要对2n2进行拆项呢？聪明的小明理解了例题解决问题的方法，很快解决了下面两个问题．相信你也能很好地解决下面的这两个问题，请写出你的解题过程． 探究1: 若x2－4xy＋5y2＋2y＋1＝0，求xy的值； 解：∵x2－4xy＋5y2＋2y＋1＝0， ∴x2－4xy＋4y2＋y2＋2y＋1＝0， 即(x－2y)2＋(y＋1)2＝0， 则(x－2y)2＝0，(y＋1)2＝0， ∴x－2y＝0，y＋1＝0， 解得x＝－2，y＝－1， ∴xy＝(－2)－1＝－. 探究2: 已知a，b，c是等腰三角形ABC的三边长，且满足a2－10a＋b2－12b＋61＝0，求此三角形的周长． 解：∵a2－10a＋b2－12b＋61＝0， ∴a2－10a＋25＋b2－12b＋36＝0， 即(a－5)2＋(b－6)2＝0， ∴a－5＝0，b－6＝0， 解得a＝5，b＝6. 当5是腰长时，三角形的周长＝5＋5＋6＝16； 当6是腰长时，三角形的周长＝5＋6＋6＝17. ∴此三角形的周长为16或17. 已知x2＋y2－2x＋6y＋10＝0，求x＋y的值． 解：由x2＋y2－2x＋6y＋10＝0， 得(x2－2x＋1)＋(y2＋6y＋9)＝0， 即(x－1)2＋(y＋3)2＝0， x－1＝0，y＋3＝0， 所以x＝1，y＝－3， 所以x＋y＝－2. 知识点1　直接开平方法 形如(x＋m)2＝n(n≥0)的一元二次方程，可直接开平方降次为两个一元一次方程：x＋m＝，x＋m＝－.然后求解一元一次方程即可． 知识点2　用配方法解二次项系数为1的一元二次方程 当二次项系数为1时，将x2＋bx＋c＝0化成(x＋m)2＝n(n≥0)的形式求解一元二次方程．其中，配方是关键，其理论依据是完全平方公式． 【考点诠释】 (1)解一元二次方程的基本思路是将二次的方程降为一次的方程，求一元一次方程即可． (2)配方法的关键是配方，配方完成后直接开平方即可． 5/5 学科网（北京）股份有限公司 $