(练习)17 核心素养提升(三)-【提分教练】2022-2023学年七年级数学上册同步(北师大版)

核心素养提升(三) (线段与角度计算中的思想方法) 如图，点B是线段AC上一点，且AB＝21 cm，BC＝AB. (1)试求出线段AC的长； (2)如果点O是线段AC的中点，求线段OB的长． 解：(1)因为AB＝21 cm，BC＝AB， 所以BC＝×21＝7(cm)， 所以AC＝AB＋BC＝21＋7＝28(cm)． (2)由(1)知，AC＝28 cm， 因为点O是线段AC的中点， 所以CO＝AC＝×28＝14(cm)， 所以OB＝CO－BC＝14－7＝7(cm)． 　　数学建模 【角度】握手类问题 1. (1)观察思考： 如图，线段AB上有两个点C，D，请分别写出以点A，B，C，D为端点的线段，并计算图中共有多少条线段； (2)模型构建： 如果线段上有m个点(包括线段的两个端点)，则该线段上共有多少条线段？请说明你结论的正确性； (3)拓展应用： 某班45名同学在毕业后的一次聚会中，若每两人握1次手问好，那么共握多少次手？ 请将这个问题转化为上述模型，并直接应用上述模型的结论解决问题． 【探究思路】　本题主要考查的是握手类问题的模型，从模型角度去考虑此类问题，可以避免线段条数错误等问题．若能理解推导握手类问题模型公式的过程，则对今后的数学学习大有帮助． 【自主解答】 解：(1)因为以点A为左端点的线段有：线段AB，线段AC，线段AD， 以点C为左端点的线段有：线段CD，线段CB， 以点D为左端点的线段有：线段DB， 所以共有3＋2＋1＝6(条)线段． (2)设线段上有m个点，每两点确定一条线段， 则该线段上共有的线段条数为(m－1)＋(m－2)＋(m－3)＋…＋3＋2＋1＝m(m－1)． (3)把45名同学看作直线上的45个点，每两名同学之间的1次握手看作为一条线段， 直线上45个点所构成的线段条数就等于握手的次数， 因此一共要进行×45×(45－1)＝990(次)握手． 　　逻辑推理 【角度】类比推理 2. 如图，已知∠AOB＝90°，∠BOC＝30°，OM平分∠AOC，ON平分∠BOC. (1)求∠MON的度数； (2)若∠BOC＝60°，其他条件不变，则∠MON＝　45°　； (3)若∠AOB＝α，其他条件不变，求∠MON的度数； (4)从上面的结果能得出什么规律？ 【探究思路】　本题考查的是角的计算、角的平分线定义，解决本题的关键是准确进行角的和差计算．(1)根据角的平分线定义和角的和差即可求解；(2)理由同(1)；(3)理由同(1)，把∠AOB换成字母表示即可求解；(4)根据(1)(2)(3)的结论即可发现规律． 【自主解答】 解：(1)因为∠AOB＝90°，∠BOC＝30°， 所以∠AOC＝∠AOB＋∠BOC＝120°. 因为OM平分∠AOC，ON平分∠BOC， 所以∠MOC＝∠AOC＝60°，∠CON＝∠BOC＝15°， 所以∠MON＝∠MOC－∠CON＝60°－15°＝45°. (3)因为∠AOB＝α，∠BOC＝30°， 所以∠AOC＝∠AOB＋∠BOC＝α＋30°. 因为OM平分∠AOC，ON平分∠BOC， 所以∠MOC＝∠AOC＝α＋15°， ∠CON＝∠BOC＝15°， 所以∠MON＝∠MOC－∠CON＝α＋15°－15°＝α. (4)∠MON的度数始终是∠AOB的一半，与∠BOC的大小没有关系． 　　直观想象 【角度】翻折类问题 3. 将一张长方形纸片按如图所示的方式折叠，BD，BE为折痕．若∠ABE＝20°，则∠DBC为　70°　. 【探究思路】　本题考查的是角的计算，根据角的平分线定义及折叠思想，通过角的和差计算即可求解． 1. 下列说法正确的有(　C　) ①角的大小与所画边的长度无关； ②如图，∠ABD也可用∠B表示； ③如果∠AOC＝∠AOB，那么OC是∠AOB的平分线； ④连接两点的线段叫做这两点之间的距离； ⑤两点之间线段最短； ⑥点E在线段CD上，若DE＝CD，则E是线段CD的中点． A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 解析：①角的大小与所画边的长短无关，故说法正确； ②题图所示的图形中，∠ABD不可用∠B表示，故说法错误； ③如果∠AOC＝∠AOB，那么OC不一定是∠AOB的平分线，故说法错误； ④两点之间线段的长度，叫做这两点之间的距离，故说法错误； ⑤两点之间线段最短，故说法正确； ⑥点E在线段CD上，若DE＝CD，则E是线段CD的中点，故说法正确． 2. 如图，把书页的一角斜折过去，设点A落在点E处，BC为折痕，BD是∠EBN的平分线，则∠CBD是(　A　) A. 直角 B. 锐角 C. 钝角 D. 不能确定大小或范围的角 解析：因为把书页的一角斜折过去，点A落在点E处，BC为折痕， 所以∠ABC＝∠EBC， 因为BD是∠EBN