1.2 充要条件（讲）-【中职专用】中职高考数学一轮复习讲练测（山东专用）

1.2 充要条件 知识点1 充分条件与必要条件 命题真假 “若p，则q”是真命题 “若p，则q”是假命题 推出关系 p⇒q p q 条件关系 p是q的充分条件 q是p的必要条件 p不是q的充分条件 q不是p的必要条件 知识点2 充要条件 1．一般地，如果既有p⇒q，又有q⇒p，就记作p⇔q.此时，我们说，p是q的充分必要条件，简称充要条件． 概括地说，如果p⇔q，那么p与q互为充要条件． 2．若p⇒q，但q p，则称p是q的充分不必要条件． 3．若q⇒p，但p q，则称p是q的必要不充分条件． 4．若p q，且q p，则称p是q的既不充分也不必要条件． 知识点3 充分条件、必要条件及充要条件的理解 1.对“推出”的正确理解 对于命题p：x>2，q：x>1.显然p可以推出q，记为p⇒q，而q是不能推出p的． 2.若p⇒q，则p是q的充分条件．所谓充分，就是说条件是充分的，也就是说条件是充足的，条件是足够的，条件是足以保证的．“有之必成立，无之未必不成立”． 3.若p⇒q，则q是p的必要条件．所谓必要，就是条件是必须有的，必不可少的，缺其不可．“有之未必成立，无之必不成立”． 4.要判断p是不是q的充要条件，需要进行两次判断：一是看p能否推出q，二是看q能否推出p.若p能推出q，q也能推出p，就可以说p是q的充要条件，否则，就不能说p是q的充要条件． 考点1 充分条件的判定 【例1】已知命题，命题，则是的（ ） A． 充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】因为命题，命题， 所以当命题成立时，命题一定成立； 当命题成立时，命题不一定成立. 所以是的充分不必要条件.故选：A 【解后感悟】充分条件的判断方法 (1)定义法：若p⇒q，q p，则p是q的充分不必要条件； (2)集合法：对于集合A＝{x|x满足条件p}，B＝{x|x满足条件q}，若A⊆B，则p是q的充分条件 【变式1-1】对于非零向量， “”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】对于非零向量，当时，，一定成立，即充分性成立； 当时，，不一定满足，即必要性不成立. 所以对于非零向量， “”是“”的充分不必要条件.故选A 【变式1-2】“”是“”的（　　） A．充要条件 B．必要不充分条件 C．充分不必要条件 D．既不充分又不必要条件 【答案】D 【解析】因为，所以或，则或，故充分性不成立， 若，满足，但不满足，必要性不成立， 故“”是“”的既不充分又不必要条件.故选D 【变式1-3】设a，，则“”是的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】因为，所以当时，， 所以即，当时，取，得不到， 所以是充分不必要条件，故选A. 考点2 必要条件的判定 【例2】给出下列条件p与q： ①p：x＝1或x＝2；q：x2－3x＋2＝0； ②p：x2－1＝0；q：x－1＝0； ③p：一个四边形是矩形；q：四边形的对角线相等 其中p是q的必要不充分条件的序号为________． 【答案】② 【解析】①或； ，解得或；， 所以为的充要条件； ②，解得， ；解得，所以是的必要不充分条件， ③：一个四边形是矩形；则对角线相等，：四边形的对角线相等．但是该四边形不一定为矩形，故是的充分不必要条件．故答案为：②． 【解后感悟】充分、必要、充要条件的判断方法 (1)定义法：若p q，q⇒p，则p是q的必要不充分条件； (2)集合法：对于集合A＝{x|x满足条件p}，B＝{x|x满足条件q}，若A⊇B，则p是q的必要条件； 【变式2-1】已知是虚数单位，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】如果 ，则 ，如果 ，则 ，所以 是 的必要不充分条件； 故选：B. 【变式2-2】“”是“”成立的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】当时，则有成立，充分性成立； 当时，则有成立，必要性成立. 故“”是“”成立的充分必要条件. 故选：C 【变式2-3】“”是“”的（    ） A． 必要不充分条件 B．充要条件 C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】因为不能推出，且可以推出， 所以“”是“”的必要不充分条件， 故选：A 考点3 充分条件与必要条件的应用 【例3】下面四个条件中，使成立的充分不必要条件是（ ） A． B． C．