专题02 解一元二次方程-【暑假预习课堂】2023年新九年级数学【赢在暑假】同步精讲精练（人教版）

专题二 解一元二次方程 【专题导航】 目录 【考点一 一元二次方程的特殊解法】 【考点二 配方法的应用】 【考点三 一元二次方程根的判别式】 【考点四 一元二次方程根与系数的关系】 【聚焦考点1】 1.换元法：在已知或者未知中，某个代数式几次出现，而用一个字母来代替它从而简化问题，有时候要通过变形才能发现．把一些形式复杂的方程通过换元的方法变成一元二次方程，从而达到降次的目的． 2.换元法功能：换元法又称变量替换法,是我们解题常用的方法之一。利用换元法,可以化繁为简,化难为易,从而找到解题的捷径。 用换元法解一元二次方程的策略 关键是构造元和设元,理论依据是等量代换,目的是变换研究对象,将问题移至新对象的知识背景中去研究,从而使非标准型问题标准化,复杂问题简单化,也体现了转化思想的运用. 【典例剖析1】一元二次方程的特殊解法 【典例1-1】阅读下面的材料，解决问题： 解方程x4﹣5x2+4＝0，这是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常是： 设x2＝y，那么x4＝y2，于是原方程可变为y2﹣5y+4＝0，解得y1＝1，y2＝4． 当y＝1时，x2＝1，∴x＝±1； 当y＝4时，x2＝4，∴x＝±2； ∴原方程有四个根：x1＝1，x2＝﹣1，x3＝2，x4＝﹣2． 请参照例题，解方程（x2+x）2﹣4（x2+x）﹣12＝0． 【典例1-2】先阅读，再解题 解方程（x﹣1）2﹣5（x﹣1）+4＝0，可以将（x﹣1）看成一个整体，设x﹣1＝y，则原方程可化y2﹣5y+4＝0，解得y1＝1；y2＝4，当y＝1时，即x﹣1＝1，解得x＝2，当y＝4时，即x﹣1＝4，解得x＝5，所以原方程的解为x1＝2，x2＝5 请利用上述这种方法解方程：（2x﹣5）2﹣4（5﹣2x）+3＝0． 针对训练1 【变式1-1】阅读下面的材料，解答后面的问题 材料：“解方程x4﹣3x2+2＝0” 解：设x2＝y，原方程变为y2﹣3y+2＝0，（y﹣1）（y﹣2）＝0，得y＝1或y＝2 当y＝1时，即x2＝1，解得x＝±1； 当y＝2时，即x2＝2，解得x＝± 综上所述，原方程的解为x1＝1，x2＝﹣1，x3＝．x4＝﹣ 问题：（1）上述解答过程采用的数学思想方法是　　 A．加减消元法 B．代入消元法 C．换元法 D．待定系数法 （2）采用类似的方法解方程：（x2﹣2x）2﹣x2+2x﹣6＝0． 【变式1-2】材料：为解方程x4﹣x2﹣6＝0，可将方程变形为（x2）2﹣x2﹣6＝0，然后设x2＝y，则（x2）2＝y2，原方程化为y2﹣y﹣6＝0…①， 解得y1＝﹣2，y2＝3． 当y1＝﹣2时，x2＝﹣2无意义，舍去；当y2＝3时，x2＝3，解得x＝±． 所以原方程的解为x1＝，x2＝﹣． 问题：利用本题的解题方法，解方程（x2﹣x）2﹣4（x2﹣x）﹣12＝0． 【能力提升1】一元二次方程的特殊解法 【提升1-1】解方程 阅读下列材料，回答所提问题后再模仿解方程： 解方程x4﹣5x2+4＝0， 这是个一元四次方程，通常通过换元，从而降次． 设x2＝y，则x4＝y2， 代入原方程化为一元二次方程：y2﹣5y+4＝0…①， 得y1＝1，y2＝4． 当y＝1时，x2＝1，得x1＝1，x2＝﹣1； 当y＝4时，x2＝4，得x3＝2，x4＝﹣2； 所以原方程的根为x1＝1，x2＝﹣1，x3＝2，x4＝﹣2． 在由原方程得到方程①的过程，利用　换元　法，达到　降次　目的，体现了数学的换化思想． 请以上述题为例试解下列方程：（x2+x）2﹣4（x2+x）﹣12＝0． 【提升1-2】阅读材料： 在学习解一元二次方程以后，对于某些不是一元二次方程的方程，我们可通过变形将其转化为一元二次方程来解．例如： 解方程：x2﹣3|x|+2＝0． 解：设|x|＝y，则原方程可化为：y2﹣3y+2＝0． 解得：y1＝1，y2＝2． 当y＝1时，|x|＝1，∴x＝±1； 当y＝2时，|x|＝2，∴x＝±2． ∴原方程的解是：x1＝1，x2＝﹣1，x3＝2，x4＝﹣2． 上述解方程的方法叫做“换元法”．请用“换元法”解决下列问题： （1）解方程：x4﹣10x2+9＝0． （2）解方程：﹣＝1． （3）若实数x满足x2+﹣3x﹣＝2，求x+的值． 【提升1-3】解方程x4﹣5x2+4＝0，这是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常是： 设x2＝y，那么x4＝y2，于是原方程可变为y2﹣5y+4＝0 ①， 解得y1＝1，y2＝4． 当y＝1时，x2＝1，∴x＝±1； 当y＝4时，x2＝4，∴x＝±2； ∴原方程有四个根：x1＝1，x2＝﹣1，x3＝2，x4＝﹣2． （1）在由原方程得到方程①的过程中，利用　换元　法