课时梯级训练(39) 对数与对数函数（Word练习）-【优化指导】2023-2024学年新教材高中数学必修第一册（人教A版2019）

课时梯级训练(39)　对数与对数函数 1．若函数f(x)＝ax－k－1(a>0，a≠1)过定点(2，0)，且f(x)在定义域R上是减函数，则g(x)＝loga(x＋k)的图象是(　　) 　　　　　　　　 A　解析：由题意可知f(2)＝0，解得k＝2，所以f(x)＝ax－2－1，又f(x)在定义域R上是减函数，所以0<a<1.此时g(x)＝loga(x＋2)，定义域为(－2，＋∞)，在定义域上单调递减，且过点(－1，0)，故选A. 2．已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，且当x＞0时，f(x)＝ln (x＋1)，则函数f(x)的图象为(　　) D　解析：由f(x)是R上的奇函数，即函数图象关于原点对称，排除A，B.又x＞0时f(x)＝ln (x＋1)，排除C，故选D. 3．若loga(a2＋1)＜loga2a＜0，则a的取值范围是(　　) A．(0，1) B．(0，) C．(，1) D．(0，1)∪(1，＋∞) C　解析：由题意得a＞0且a≠1，故必有a2＋1＞2a.又loga(a2＋1)＜loga2a＜0，所以0＜a＜1，且2a＞1，故a＞，综上，a∈(，1). 4．已知x，y，z都是大于1的正数，m>0，且logxm＝24，logym＝40，logxyzm＝12，则logzm的值为(　　) A． B．60 C． D． B　解析：由已知得logm(xyz)＝logmx＋logmy＋logmz＝，而logmx＝，logmy＝，故logmz＝－logmx－logmy＝－－＝，即logzm＝60. 5．设f(x)＝lg x，若f(1－a)－f(a)>0，则实数a的取值范围为________． 答案：(0，)　解析：因为f(1－a)>f(a)，f(x)＝lg x是增函数，所以解得0<a<，即实数a的取值范围为(0，). 6．函数f(x)＝loga(a>0，且a≠1)，f(2)＝3，则f(－2)的值为________． 答案：－3　解析：∵>0，∴－3<x<3，∴f(x)的定义域关于原点对称．∵f(－x)＝loga＝－loga＝－f(x)，∴函数f(x)为奇函数，∴f(－2)＝－f(2)＝－3. 7．已知0<a<1，0<b<1，若<1，则x的取值范围是________． 答案：(3，4)　解析：∵0<a<1，∴<1＝a0等价于logb(x－3)>0＝logb1.∵0<b<1，∴解得3<x<4. 8．已知定义在R上的偶函数f(x)在区间[0，＋∞)上是减函数，若f(1)>f(lg )，求x的取值范围． 解：因为f(x)是定义在R上的偶函数且在区间[0，＋∞)上是减函数， 所以f(x)在区间(－∞，0)上是增函数， 所以不等式f(1)>f(lg )可化为lg >1或lg <－1， 所以lg >lg 10或lg <lg ， 所以>10或0<<，所以0<x<或x>10. 所以x的取值范围为(0，)∪(10，＋∞). 9．已知函数f(x)＝loga(x＋1)(0＜a＜1)，函数y＝g(x)的图象与函数f(x)的图象关于原点对称． (1)写出函数g(x)的解析式； (2)判断函数f(x)－g(x)的奇偶性，并说明理由； (3)若x∈[0，1)时，总有f(x)＋g(x)≤m成立，求实数m的取值范围． 解：(1)∵g(x)的图象与f(x)的图象关于原点中心对称， ∴g(x)＝－f(－x)＝－loga(－x＋1)， 即g(x)＝loga(x＜1). (2)函数f(x)－g(x)是偶函数．理由如下： 记h(x)＝f(x)－g(x)＝loga(1＋x)－loga(－1<x<1)，即h(x)＝loga(1＋x)(1－x)＝loga(1－x2)，x∈(－1，1). ∵h(－x)＝loga[1－(－x)2]＝loga(1－x2)＝h(x)，∴h(x)为偶函数，即f(x)－g(x)为偶函数． (3)记u(x)＝f(x)＋g(x)＝loga(1＋x)＋loga＝loga，x∈[0，1). ∵f(x)＋g(x)≤m恒成立，∴m≥(loga)max. 令u(x)＝loga＝loga(－1＋)， ∵a∈(0，1)，当x∈[0，1)时，u(x)单调递减， ∴u(x)max＝u(0)＝loga1＝0，∴m≥0. 故实数m的取值范围为[0，＋∞). 学科网（北京）股份有限公司 $