第13讲 角的运算-【暑假自学课】2023年新七年级数学暑假精品课（北师大版）

第13讲 角的运算 1．会利用角平分线的意义进行有关表示或计算； 2. 掌握角的和、差、倍、分关系，并会进行有关计算. 3.掌握角大小比较方法。 知识点1：角平分线 从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线，叫做这个角的平分线．如图所示，OC是∠AOB的角平分线，∠AOB＝2∠AOC＝2∠BOC， ∠AOC＝∠BOC =∠AOB． 注意：由角平分线的概念产生的合情推理其思维框架与线段中点的思维框架一样． 知识点2：角的运算 如图所示，∠AOB是∠1与∠2的和，记作：∠AOB＝∠1+∠2；∠1是∠AOB与∠2的差，记作：∠1＝∠AOB-∠2． 注意： (1)用量角器量角和画角的一般步骤：①对中(角的顶点与量角器的中心对齐)；②重合(一边与刻度尺上的零度线重合)；③读数(读出另一边所在线的度数)． (2) 利用三角板除了可以做出30°、45°、60°、90°外，根据角的和、差关系，还可以画出15°，75°，105°，120°，135°，150°，165°的角． 知识点3：角的比较 角的大小比较与线段的大小比较相类似，方法有两种． 方法1：度量比较法．先用量角器量出角的度数，然后比较它们的大小． 方法2：叠合比较法．把其中的一个角移到另一个角上作比较． 如比较∠AOB和∠A′O′B′的大小： 如下图，由图（1）可得∠AOB＜∠A′O′B′；由图(2)可得∠AOB＝∠A′O′B′；由图(3)可得∠AOB＞∠A′O′B′． 考点1：角平分线的的定义 例1.（2022秋•万源市校级期末）如图，∠1＝∠2，∠3＝∠4，则下列结论正确的有（　　） ①AD平分∠BAE；②AF平分∠EAC；③AE平分∠DAF；④AF平分∠BAC；⑤AE平分∠BAC． A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【变式1-1】（2022秋•澄海区期末）已知射线OC在∠AOB内部，下列说法不能确定射线OC是∠AOB的平分线的是（　　） A．∠AOC+∠BOC＝∠AOB B．∠AOC＝∠AOB C．∠AOB＝2∠BOC D．∠AOC＝∠BOC 【变式1-2】（2022秋•达川区校级期末）如图，点O在直线AB上，OD是∠AOC的角平分线，∠COB＝42°，则∠DOC的度数是（　　） A．59° B．60° C．69° D．70° 【变式1-3】（2023春•宝坻区校级月考）如图，直线AB、CD交于O，OE是∠BOC的平分线且∠BOE＝50°，那么∠AOC＝（　　）° A．80 B．100 C．130 D．150 考点2：角的计算 例2.（2022秋•大渡口区校级期末）如图所示，OC是∠AOB的平分线，∠BOD＝∠DOC，∠BOD＝13°，则∠AOD的度数为（　　） A．70° B．65° C．60° D．52° 【变式2-1】（2022秋•安乡县期末）如图，已知O是直线AB上一点，∠1＝40°，OD平分∠BOC，则∠2的度数是（　　） A．60° B．65° C．70° D．75° 【变式2-2】（2022秋•长垣市期末）如图，已知，，且∠COD＝20°，则∠AOB＝（　　） A．100° B．110° C．120° D．135° 【变式2-3】（2022秋•东明县校级期末）如图，点A、B、O在一条直线上，射线OC是∠DOB的平分线，∠AOD＝110°，∠BOC＝　 　°． 考点3：双角平分线的运算 例3.（2022秋•南川区期末）如图所示，OB是∠AOC的平分线，OD是∠COE的平分线． （1）如果∠AOB＝40°，∠DOE＝25°，那么∠BOD是多少度？ （2）如果∠AOE＝150°，∠COD＝20°，那么∠AOB是多少度？ 【变式3-1】（2022秋•济南期末）如图，点A，O，B在同一条直线上，射线OD和射线OE分别平分∠AOC和∠BOC，求∠DOE的度数． 【变式3-2】（2022秋•黔江区期末）如图，OB是∠AOC的平分线，OD是∠COE的平分线． （1）若∠AOB＝30°，∠DOE＝20°，那么∠BOD是多少度？ （2）若∠AOE＝150°，∠AOB＝40°，那么∠COD是多少度？ 【变式3-3】（2022秋•七星关区期末）如图，O为直线AB上的一点，且∠COD为直角，OE平分∠BOD，OF平分∠AOE．若∠BOC＝54°，求∠DOF的度数． 考点4：有关折叠的角度运算 例4.（2023春•东平县期中）如图，将一张长方形纸按照如图所示的方法对折，两条虚线为折痕，这两条折痕构成的角的度数是（　　） A．30° B．45° C．75° D．90° 【变式4-1】（2023春•北辰区期中）如图，将正方形纸片ABCD折叠，使边AB、CB均落在对角线BD上，得折痕BE、BF，则∠EBF的度数是（　　） A．15° B．40° C．45° D．60°