第12讲 角的认识-【暑假自学课】2023年新七年级数学暑假精品课（北师大版）

第12讲 角的认识 1．掌握角的概念及角的表示方法，并能进行角度的互换； 2.认识钟面角、方位角，并掌握其运算； 3.掌握运用尺规作已知角，相等角等。 知识点1：角的概念 1． 角的定义： （1）定义一：有公共端点的两条射线组成的图形叫做角，这个公共端点是角的顶点，这两条射线是角的两条边．如图1所示，角的顶点是点O，边是射线OA、OB． ( 图2 ) ( 图1 ) （2）定义二：一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形，射线旋转时经过的平面部分是角的内部．如图2所示，射线OA绕它的端点O旋转到OB的位置时，形成的图形叫做角，起始位置OA是角的始边，终止位置OB是角的终边． 注意： （1）两条射线有公共端点，即角的顶点；角的边是射线；角的大小与角的两边的长短无关． （2）平角与周角：如图1所示射线OA绕点O旋转，当终止位置OB和起始位置OA成一条直线时，所形成的角叫做平角，如图2所示继续旋转，OB和OA重合时，所形成的角叫做周角． 2.角的表示法：角的几何符号用“∠”表示，角的表示法通常有以下四种： 注意： 用数字或小写希腊字母表示角时，要在靠近角的顶点处加上弧线，且注上阿拉伯数字或小写希腊字母． 3.角的画法 （1）用三角板可以画出30°、45°、60°、90°等特殊角． （2）用量角器可以画出任意给定度数的角． （3）利用尺规作图可以画一个角等于已知角． 知识点2：角度制及其换算 角的度量单位是度、分、秒，把一个周角平均分成360等份，每一份就是1°的角，1°的为1分，记作“1′”，1′的为1秒，记作“1″”．这种以度、分、秒为单位的角的度量制，叫做角度制． 1周角＝360°，1平角＝180°，1°＝60′，1′＝60″． 注意： 在进行有关度分秒的计算时，要按级进行，即分别按度、分、秒计算，不够减，不够除的要借位，从高一位借的单位要化为低位的单位后再进行运算，在相乘或相加时，当低位得数大于60时要向高一位进位． 知识点3：钟表上有关夹角问题 钟表中共有12个大格，把周角12等分、每个大格对应30°的角，分针1分钟转6°，时针每小时转30°，时针1分钟转0.5°，利用这些关系，可帮助我们解决钟表中角度的计算问题． 知识点4：方位角 在航行和测绘等工作中，经常要用到表示方向的角．例如，图中射线OA的方向是北偏东60°；射线OB的方向是南偏西30°．这里的“北偏东60°”和“南偏西30°”表示方向的角，就叫做方位角． 注意： （1）正东，正西，正南，正北4个方向不需要用角度来表示． （2）方位角必须以正北和正南方向作为“基准”，“北偏东60°”一般不说成“东偏北30°” ． （3）在同一问题中观察点可能不止一个，在不同的观测点都要画出表示方向的“十字线”，确定其观察点的正东、正西、正南、正北的方向． （4）图中的点O是观测点，所有方向线(射线)都必须以O为端点． 考点1：度分秒的换算 例1.（2022秋•榆阳区校级期末）若∠α＝5.15°，则∠α用度、分、秒表示为（　　） A．5°15' B．5°1′5″ C．5°9′ D．5°30′ 【变式1-1】（2022秋•绥德县期末）20°13'12″化为用度表示是（　　） A．20.12° B．20.2° C．20.20° D．20.22° 【变式1-2】（2022秋•汉寿县期末）将30.24°用度、分、秒表示为（　　） A．30°12′24″ B．30°14′24″ C．30°14′25″ D．30°15′28″ 【变式1-3】（2022秋•高碑店市期末）已知∠1＝38°36'，∠2＝38.36°，∠3＝38.6°，则下列说法正确的是（　　） A．∠1＝∠2 B．∠1＝∠3 C．∠2＝∠3 D．∠1，∠2，∠3互不相等 考点2：角的概念和表示 例2.（2022秋•河东区期末）下列图形中，能用∠1，∠ACB，∠C三种方法表示同一个角的是（　　） A． B． C． D． 【变式2-1】（2022秋•河池期末）如图，下列说法正确的是（　　） A．∠1与∠BOC表示同一个角 B．∠1＝∠2 C．∠2与∠AOB表示同一个角 D．图中只有两个角，即∠1和∠2 【变式2-2】（2022秋•曲靖期末）下列图形中，能用∠AOB，∠O，∠1三种表示方法表示同一个角的是（　　） A． B． C． D． 【变式2-3】（2022秋•吉安期末）拿一个10倍的放大镜看一个1°的角，则这个角为（　　） A．100° B．10° C．1° D．不能确定，视放大镜的距离而定 考点3：作图-基本作图 例3.（2023春•和平区月考）已知：∠AOB及边OB上一点C．求作：∠DCB，使得∠DCB＝∠AOB．要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作