1.4.2 充要条件(学案)-【成才之路】2022-2023学年高中新教材数学必修第一册同步学习指导(人教A版2019)

+,-&./+01"234 件与集合间的关系，将问题转化为相应的两个 集合之间的包含关系，然后建立关于参数的不 等式（组）进行求解． 【对点练习】? （１）若“ｘ ＜ ｍ”是“ｘ ＞ ２或ｘ ＜ １”的充分条件但不是必要条件，求ｍ的取值 范围． （２）已知ｐ：ｘ ＜ － ３或ｘ ＞ １，ｑ：ｘ ＞ ａ，且ｑ是 ｐ的充分条件但不是必要条件，求ａ的取值 范围            ． 课堂检测·固双基 １．若ａ∈Ｒ，则“ａ ＝ １”是“｜ ａ ｜ ＝ １”的 （Ａ ） Ａ．充分条件 Ｂ．必要条件 Ｃ．既不是充分条件，也不是必要条件 Ｄ．无法判断 ２．若ｐ：ａ∈Ｍ∪Ｎ，ｑ：ａ∈Ｍ，则ｐ是ｑ的（Ｂ ） Ａ．充分条件但不是必要条件 Ｂ．必要条件但不是充分条件 Ｃ．既是充分条件，也是必要条件 Ｄ．既不是充分条件，也不是必要条件 ３．设集合Ｍ ＝｛ｘ ｜ ０ ＜ ｘ≤３｝，Ｎ ＝｛ｘ ｜ ０ ＜ ｘ≤２｝， 那么“ａ∈Ｎ”是“ａ∈Ｍ”的　 　 　 　 条件． ４．下列“若ｐ，则ｑ”形式的命题，哪些命题中的ｐ 是ｑ的充分条件？ （１）若平面内点Ｐ在线段ＡＢ的垂直平分线 上，则ＰＡ ＝ ＰＢ； （２）若两个三角形的两边及一边所对的角分 别相等，则这两个三角形全等； （３）若两个三角形相似，则这两个三角形的面 积比等于周长比的平方． ５．下列各题中，ｐ是ｑ的什么条件？ （１）ｐ：ａ ＋ ｂ ＝ ０，ｑ：ａ２ ＋ ｂ２ ＝ ０； （２）ｐ：四边形的对角线相等，ｑ：四边形是 矩形； （３）ｐ：ｘ ＝ １或ｘ ＝ ２，ｑ：ｘ － １ ＝ ｘ槡－ １． 请同学们认真完成练案［６］（Ｂ本                                 ） 第２课时　 充要条件 必备知识·探新知 知识点充要条件 　 　 １．定义：若ｐｑ且ｑｐ，则记作　 ｐｑ，此 时ｐ是ｑ的充分必要条件，简称　 充要条件． ２．条件与结论的等价性：如果ｐ是ｑ的　 充 要条件，那么ｑ也是ｐ的　 充要条件． ３．概括：如果　 ｐｑ，那么ｐ与ｑ互为　 充 要条件． 想一想：命题按条件和结论的充分性、必要 性可分哪几类             ？ !!"# 　 ０２０ !"#$%&'() ＲＪＡ * 　 　 练一练： １．“ｘ ＝ ０”是“ｘ２ ＝ ０”的 （Ｄ ） Ａ．充分条件 Ｂ．必要条件 Ｃ．既不是充分条件也不是必要条件 Ｄ．既是充分条件又是必要条件 ２．点Ｐ（ｘ，ｙ）是第二象限的点的充要条 件是 （Ｂ ） Ａ． ｘ ＜ ０，ｙ ＜ ０　 　 　 　 Ｂ． ｘ ＜ ０，ｙ ＞ ０ Ｃ． ｘ ＞ ０，ｙ ＞ ０ Ｄ． ｘ ＞ ０，ｙ ＜ ０ ３．设ｐ：ｘ ＜ ３，ｑ：－ １ ＜ ｘ ＜ ３，则ｐ是ｑ的 （Ｃ ） Ａ．充分必要条件 Ｂ．充分不必要条件 Ｃ．必要不充分条件 Ｄ．              既不充分也不必要条件 关键能力·攻重难 题型探究　 题型一 充要条件的判断与探究 　 　 典例１ （１）判断下列各题中，ｐ是否为 ｑ的充要条件？ ①在△ＡＢＣ中，ｐ：∠Ａ ＞∠Ｂ，ｑ：ＢＣ ＞ ＡＣ； ②若ａ，ｂ∈Ｒ，ｐ：ａ２ ＋ ｂ２ ＝ ０，ｑ：ａ ＝ ｂ ＝ ０； ③ｐ：｜ ｘ ｜ ＞ ３，ｑ：ｘ２ ＞ ９． （２）已知ｐ，ｑ都是ｒ的必要条件，ｓ是ｒ的充 分条件，ｑ是ｓ的充分条件，那么： ①ｓ是ｑ的什么条件？ ②ｒ是ｑ的什么条件？ ③ｐ是ｑ的什么条件？ 作答：　 　 ［归纳提升］　 判断充分条件、必要条件及 充要条件的四种方法 （１）定义法：直接判断“若ｐ，则ｑ”以及“若 ｑ，则ｐ”的真假． （２）集合法：即利用集合的包含关系判断． （３）等价法：即利用ｐｑ与ｑｐ的等价关 系，对于条件和结论是否定形式的命题，一般运 用等价法． （４）传递法：充分条件和必要条件具有传递 性，即由ｐ１ｐ２…ｐｎ，可得ｐ１ｐｎ；充要条件 也有传递性． 【对点练习】? （１）ａ，ｂ中至少有一个不为 零的充要条件是 （Ｄ ） Ａ． ａｂ ＝ ０　 　 　 　 Ｂ． ａｂ ＞ ０ Ｃ． ａ２ ＋ ｂ２ ＝ ０ Ｄ． ａ２ ＋ ｂ２ ＞ ０ （２）如果甲是乙的必要条件，丙是乙的充分 条件，但不是乙的必要条件，那么 （Ａ ） Ａ．丙是甲的充分不必要条件 Ｂ．丙是甲的必要不充分条件 Ｃ．丙是甲的充要条件 Ｄ．丙是甲的既不充分又不必要条件 （３）设集合Ａ ＝｛ｘ ｜２ａ ＋ １≤ｘ≤３ａ － ５｝，Ｂ ＝ ｛ｘ ｜３≤ｘ≤２２｝，则Ａ（Ａ∩Ｂ）的充要条件为 　 　 　 　 ；一个充分不必要条件为　 　 　 　 ． 题型二 充要条件的证明 　 　 典例２ 设