4.1.1 n次方根与分数指数幂(学案)-【成才之路】2022-2023学年高中新教材数学必修第一册同步学习指导(人教A版2019)

!"#$%&'() ＲＪＡ * 第四章　 指数函数与对数函数 ４． １　 指　 数 学习目标 核心素养 弄清（ｎ槡ａ）ｎ与ｎ ａ槡ｎ的区别，掌握ｎ次方根的运算 数学抽象 能够利用ａｍｎ ＝ ｎ ａ槡ｍ进行根式与分数指数幂的互化 数学运算 通过对根指数ｎ的讨论学会运用分类讨论的思想方法 逻辑推理 ４． １． １　 ｎ次方根与分数指数幂 必备知识·探新知 知识点１ ｎ次方根 定义一般地，如果ｘ ｎ ＝ ａ，那么ｘ叫做ａ的ｎ次方根，其 中ｎ ＞１，且ｎ∈Ｎ 个数 ｎ是奇数 ａ ＞ ０ ｘ ＞ ０ ａ ＜ ０ ｘ ＜ ０ ｘ仅有一个值，记为ｎ槡ａ ｎ是偶数 ａ ＞ ０ ｘ有两个值，且互为相反数， 记为± ｎ槡ａ ａ ＜ ０ ｘ不存在 　 　 想一想：正数ａ的ｎ次方根一定有两个吗？ 　 　 练一练： 　 　 １． ２７的立方根是　 　 　 　 ． ２． ４的平方根是　 　 　 　 ． 知识点２ 根式 　 　 （１）定义：式子　 　 　 叫做根式，这里ｎ叫 做根指数，ａ叫做被开方数． （２）性质：（ｎ ＞ １，且ｎ∈Ｎ） ①（ｎ槡ａ）ｎ ＝ ａ． ② ｎ ａ槡ｎ ＝ ａ，ｎ为奇数，｜ ａ ｜，ｎ为偶数{ ． 想一想：（ｎ槡ａ）ｎ与ｎ ａ槡ｎ中的字母ａ的取值范 围是否一样？ 　 　 练一练： １． ３槡－ ８等于 （Ｂ ） Ａ． ２　 　 　 　 　 　 　 　 Ｂ． － ２ Ｃ． ± ２ Ｄ．                             － ８ !!"# 　 ０８７ +,-&./+01"234 ２．下列各式正确的是 （Ａ ） Ａ．（３槡ａ）３ ＝ ａ Ｂ．（４槡７）４ ＝ － ７ Ｃ．（５槡ａ）５ ＝ ｜ ａ ｜ Ｄ． ６ ａ槡６ ＝ ａ 知识点３ 分数指数幂的意义（ａ ＞ ０，ｍ，ｎ∈Ｎ， 且ｎ ＞ １） 正分数指数幂 ａｍｎ ＝ ｎ ａ槡ｍ 负分数指数幂 ａ － ｍｎ ＝ １ ａ ｍ ｎ ＝ １ｎ ａ槡ｍ ０的分数 指数幂 ０的正分数指数幂等于０，０ 的负分数指数幂没有意义 　 　 想一想：为什么分数指数幂的底数规定 ａ ＞ ０？ 　 　 练一练：４ － ３２可化为 （Ｃ ） Ａ． ８　 　 　 　 　 　 Ｂ． ２ ４ ３ Ｃ． １８ Ｄ． ２ ３ ４ 知识点４ 有理数指数幂的运算性质（ａ ＞０，ｂ ＞０， ｒ，ｓ∈Ｑ） 　 　 （１）ａｒａｓ ＝ ａｒ ＋ ｓ ． （２）（ａｒ）ｓ ＝ ａｒｓ ． （３）（ａｂ）ｒ ＝ ａｒｂｒ ． 想一想：同底数幂相除ａｒ ÷ ａｓ，同次的指数 相除ａ ｒ ｂｒ 分别等于什么？ 练一练：１．若ａ ＞ ０，ｎ，ｍ为实数，则下列各 式中正确的是 （Ｄ ） Ａ． ａｍ ÷ ａｎ ＝ ａ ｍ ｎ Ｂ． ａｎ·ａｍ ＝ ａｍ·ｎ Ｃ．（ａｎ）ｍ ＝ ａｍ ＋ ｎ Ｄ． １ ÷ ａｎ ＝ ａ０ － ｎ 　 　 ２．若６ ６ －槡ｘ有意义，则实数ｘ的取值范围为 　 　 　 　                                   ． 关键能力·攻重难 题型探究　 题型一 ｎ次方根的概念 　 　 典例１ （１）１６的平方根为　 　 　 　 ， － ２７的５次方根为５槡－ ２７； （２）已知ｘ７ ＝ ６，则ｘ ＝ 　 　 　 　 ； （３）若４ ｘ槡－ ２有意义，则实数ｘ的取值范围 是　 　 　 　 ． ［分析］　 解答此类问题应明确ｎ次方根中 根指数对被开方数的要求及ｎ次方根的个数 要求． ［归纳提升］　 （１）任意实数的奇次方根只 有一个，正数的偶次方根有两个且互为相反数； （２）（ｎ槡ａ）ｎ是实数ａ的ｎ次方根的ｎ次幂，其 中实数ａ的取值由ｎ的奇偶性决定． 　 　 【对点练习】? 计算下列各值： （１）２５６的４次算术方根是　 　 　 　 ； （２）３２的５次方根是　 　 　 　 ． 题型二 利用根式的性质化简或求值 　 　 典例２ 化简： （１）４ （３ － π）槡 ４； （２） （ａ － ｂ）槡 ２（ａ ＞ ｂ）； （３）（ ａ槡－ １）２ ＋ （１ － ａ）槡 ２ ＋ ３ （１ － ａ）槡 ３ ． 作答：　 　 ［归纳提升］　 ｎ为奇数时，（ｎ槡ａ）ｎ ＝ ｎ ａ槡ｎ ＝ ａ，ａ为任意实数均可；ｎ为偶数时，ａ≥０，（ｎ槡ａ）ｎ 才有意义，且（ｎ槡ａ）ｎ ＝ ａ；而ａ为任意实数ｎ ａ槡ｎ均 有意义，且ｎ ａ槡ｎ ＝ ｜ ａ ｜ ． 　 　 【对点练习】? 求下列各式的值： （１）７ （－ ２）槡 ７； （２）４ （３ａ － ３）槡 ４（ａ≤１）                           