3.1.1 函数的概念(学案)-【成才之路】2022-2023学年高中新教材数学必修第一册同步学习指导(人教A版2019)

+,-&./+01"234 第三章　 函数的概念与性质 ３． １　 函数的概念及其表示 ３． １． １　 函数的概念 学习目标 核心素养 通过丰富实例，学习用集合与对应的语言来刻画函数，体会对应关系在刻画函 数概念中的作用 数学抽象 了解构成函数的三要素 数学抽象 能够正确使用“区间”的符号表示某些集合 直观想象 理解同一个函数的概念 数学抽象 能判断两个函数是否是同一个函数 逻辑推理 第１课时　 函数的概念（一） 必备知识·探新知 知识点１ 函数的概念 定义 设Ａ、Ｂ是非空的　 实数集，如果对于 集合Ａ中的　 任意一个数ｘ　 ，按照某 种确定的对应关系ｆ，在集合Ｂ中都有 　 唯一确定的数ｙ和它对应，那么就 称ｆ：Ａ→Ｂ为从集合Ａ到集合Ｂ的一 个函数，记作ｙ ＝ ｆ（ｘ），ｘ∈Ａ 三 要 素 对应关系 ｙ ＝ ｆ（ｘ），ｘ∈Ａ 定义域 　 ｘ的取值集合 值域 与ｘ的值相对应的ｙ的值的集合｛ｆ（ｘ）｜ ｘ∈Ａ｝． 　 　 想一想：（１）对应关系ｆ一定是解析式吗？ （２）ｆ（ｘ）与ｆ（ａ）有何区别与联系？ 　 　 练一练： １．对的打“√”，错的打“×”． （１）“ｙ ＝ ｆ（ｘ）”表示的是“ｙ等于ｆ与ｘ的乘 积”． （　 ） （２）根据函数的定义，定义域中的任何一个 ｘ可以对应着值域中不同的ｙ． （　 ） （３）在研究函数时，除用符号ｆ（ｘ）外，                     还用 !!"# 　 ０５４ !"#$%&'() ＲＪＡ * ｇ（ｘ），Ｆ（ｘ），Ｇ（ｘ）等来表示函数． （　 ） ２．已知ｆ（ｘ）＝ ２ｘ ＋ １，则ｆ（５）＝ （Ｃ ） Ａ． ３　 　 　 　 　 　 　 　 Ｂ． ７ Ｃ． １１ Ｄ． ２５ 知识点２ 区间及有关概念 　 　 （１）一般区间的表示． 设ａ，ｂ∈Ｒ，且ａ ＜ ｂ，规定如下： 定义 名称 符号 数轴表示 ｛ｘ ｜ ａ≤ｘ≤ｂ｝ 闭区间 　 　 　 ｛ｘ ｜ ａ ＜ ｘ ＜ ｂ｝ 开区间 　 　 　 ｛ｘ ｜ ａ≤ｘ ＜ ｂ｝ 半开半闭区间 　 　 　 ｛ｘ ｜ ａ ＜ ｘ≤ｂ｝ 半开半闭区间 　 　 　 　 　 （２）特殊区间的表示． 定义 Ｒ ｛ｘ ｜ ｘ≥ａ｝ ｛ｘ ｜ ｘ ＞ ａ｝ ｛ｘ ｜ ｘ≤ａ｝ ｛ｘ ｜ ｘ ＜ ａ｝ 符号 　 　 　　 　 　 　　 　 　 　　 　 　 　　 　 　 　　 　 　 想一想：（１）区间是数集的另一种表示方 法，那么任何数集都能用区间表示吗？ （２）“∞”是数吗？以“－ ∞”或“＋ ∞”作为 区间一端时这一端可以是中括号吗？ 　 　 练一练：（２０１９·江苏，４）函数ｙ ＝ ７ ＋ ６ｘ － ｘ槡 ２的定义域是　 　 　 　                          ． 关键能力·攻重难 题型探究　 题型一 函数概念的理解 　 　 典例１ （１）下列对应或关系式中是Ａ 到Ｂ的函数的是 （Ｂ ） Ａ． Ａ∈Ｒ，Ｂ∈Ｒ，ｘ２ ＋ ｙ２ ＝ １ Ｂ． Ａ ＝ ｛１，２，３，４｝，Ｂ ＝ ｛０，１｝，对应关系 如图： Ｃ． Ａ ＝ Ｒ，Ｂ ＝ Ｒ，ｆ：ｘ→ｙ ＝ １ｘ － ２ Ｄ． Ａ ＝ Ｚ，Ｂ ＝ Ｚ，ｆ：ｘ→ｙ ＝ ２ｘ槡－ １ （２）设Ｍ ＝｛ｘ ｜ －２≤ｘ≤２｝，Ｎ ＝｛ｙ ｜０≤ｙ≤２｝， 函数ｙ ＝ ｆ（ｘ）的定义域为Ｍ，值域为Ｎ，对于下列四 个图象，不可作为函数ｙ ＝ ｆ（ｘ）的图象的是（Ｃ ） ［分析］　 （１）如何利用函数定义．对于集 合Ａ中的元素通过对应关系在集合Ｂ中有唯一 元素与之对应进行判断． （２）当对应关系用图象表示时，怎样判断是 否为函数关系． ［归纳提升］　 １．判断一个对应关系是否是函 数，要从以下三个方面去判断，即Ａ，Ｂ必须是非空数 集；Ａ中任何一个元素在Ｂ中必须有元素与其对应； Ａ中任一元素在Ｂ中必有唯一元素与其对应． ２．函数的定义中“任一ｘ”与“有唯一确定 的ｙ”说明函数中两变量ｘ，ｙ的对应关系是“一 对一”或者是“多对一”而不能是“一对多”． 　 　 【对点练习】? （多选）下面选项中，变量ｙ 是变量ｘ的函数的是 （ＡＢＤ ） Ａ． ｘ表示某一天中的时刻，ｙ表示对应的某 地区的气温 Ｂ． ｘ表示年份，ｙ表示对应的某地区的ＧＤＰ （国内生产总值） Ｃ． ｘ表示某地区的学生某次数学考试成 绩，ｙ表示该地区学生对应的考试号 Ｄ． ｘ表示某人的月收入，ｙ表示对应的个税 题型二 求函数的定义域 　 　 典例２ 求下列函数的定义域： （１）ｙ ＝（ｘ ＋ ２） ０ ｜ ｘ ｜ － ｘ                                