第一章《勾股定理》暑假作业 2022-2023学年北师大版数学八年级上册

8上数学第一单元《勾股定理》 【知识点一： 勾股定理】a c 1.内容：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。 b 2.表示方法：如果直角三角形的两直角边分别为a ,b ,斜边为c ,那么a²+b²=c²。 【知识点一①： 勾股定理的证明】常用的是拼图法【面积法】 用拼图法验证勾股定理的思路是： 1、图形经过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积是不会改变的； 2、根据同一图形的面积不同的表示方法，列出等式，推到出勾股定理 【知识点一②： 勾股定理的适用范围】 勾股定理揭示了直角三角形三条边之间嗦存在的数量关系，它只适用于直角三角形，对于锐角三角形和钝角三角形的三边不具备这一特征，因而在应用勾股定理的时候，必须知道考察的对象是直角三角形。 【知识点二： 勾股定理的逆定理】 如果三角形的三边长a ,b ,c ,满足a²+b²=c²，那么这个三角形就是直角三角形。 勾股定理的逆定理是判定三角形是否是直角三角形的一种重要方法，它是通过“数转化为形”来确定三角形的可能形状。若a²+b²=c²，则是直角三角形，若a²+b²<c²，则是钝角三角形，若a²+b²>c²，则是锐角三角形。 （注：不要误认为三角形的最长边一定就是c边，也可用是a ,b 边，要看清题目。） 【知识点三：勾股数】 满足a²+b²=c²的三个正整数，称为勾股数。 ①. 3 4 5、 6 8 10、 5 12 13、 7 24 25 、 8 15 17、 9 40 41、 11 60 61 以及它们各自的相同倍数（整数倍） ②.对于两个任意的正整数m ,n（m>n）,则m²+n², m²-n²,2mn也成勾股数。且(m²-n²)²+(2mn)²=(m²+n²)²。 ①.求梯子滑动的距离、求旗杆的高度 【知识点四：　勾股定理的应用】 ②.航海问题、蚂蚁觅食问题 ③.折叠问题、方程思想问题 1.已知直角三角形的任意两边，求第三边；知道直角三角形一边，可得到另外两边之间的数量关系 2.寻找最短路径问题、方程思想的应用。（立体图形中求两点间的最短距离，一般把立体图形展开成平面图形，连接两点，根据两点之间线段最短确定最短路线.） 【对点训练】 知识要点1　探索勾股定理 1.如图，网格中每个小正方形的面积为1. 左图中，SA＝ ，SB＝ ，SC＝ . 右图中，SA＝ ，SB＝ ，SC＝ . 综上所述，若正方形A，B，C的边长分别是a，b，c，则得出 . 2.如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，以△ABC的各边为边在△ABC外作三个正方形，S1，S2，S3分别表示这三个正方形的面积，S1＝81，S2＝225，则S3＝ . 知识要点2　勾股定理 1.在△ABC中，∠C＝90°. (1)若a＝6，b＝8，则c＝ ； (2)若a＝3，c＝5，则b＝ . 2．如图，隔湖有两点A，B，为了测得A，B两点间的距离，从与AB方向成直角的BC方向上任取一点C，若测得CA＝50 m，CB＝40 m，那么A，B两点间的距离是 . 知识要点3　直角三角形的判别、勾股数 1.下列各组数据中，不能作为直角三角形的三边长的是(　　) A．a＝3，b＝4，c＝5 B．a＝6，b＝8，c＝10 C．a＝5，b＝12，c＝13 D．a＝13，b＝16，c＝18 2.下列几组数中，为勾股数的是(　　) A．4, 5, 6　 B．12, 16, 20 C．10, 24, 25　 D．2.4, 4.5, 5.1 3.若15,25，x三个正整数构成勾股数，则x＝ . 知识要点4　勾股定理的实际应用、最短路径问题、折叠问题 1.如图，有一圆柱，它的高等于8 cm，底面直径等于4 cm(π取3)．在圆柱下底面的A点有一只蚂蚁，它想吃到上底面与A相对的B点处的食物，需要爬行的最短路程大约是_____________. （第1题） （第2题） （第3题） （第4题） 2.如图是某楼梯的示意图，测得楼梯的长为5米，高3米，计划在楼梯表面铺地毯，地毯