17.1&17.3一元二次方程的概念和解法-2023-2024学年八年级数学上册同步知识+题型培优讲义（沪教版）

17.1&17.2一元二次方程的概念和解法 1.理解一元二次方程及一般式的概念，理解解的概念． 2.掌握直接开方、因式分解法，并能运用相应方法解方程． 3.了解配方法及运算依据，会用配方法解方程； 4.了解公式法的推导过程，掌握公式法解一元二次方程． 一、 一元二次方程的认识 等号两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的方程，叫做一元二次方程． 【注意】 ①判断一个方程是不是一元二次方程时，要先化为一般式，再判断． ②二次项、二次项系数、一次项、一次项系数和常数项都是包括符号的． ③二次项系数不为零． 一元二次方程的识别:要判断一个方程是否是一元二次方程，必须紧扣概念，符合以下三个标准：化为一般式后，①是整式方程，②只含有一个未知数，③未知数最高次是2次. 二、一元二次方程的解 使方程左右两边相等的未知数的值就是这个一元二次方程的解，一元二次方程的解也叫做一元二次方程的根 三、一元二次方程的一般形式 形如 的方程,a为二次项系数，b为一次项系数，c为常数项. 四、 直接开方法 形如()型的一元二次方程，即一元二次方程的一边是含有未知数 的一次式的平方，而另一边是一个非负数，可用直接开平法求解。 例：即; (),a,求解即可。 当m时，方程均无解。 五、因式分解法 如果两个因式的乘积等于0，那么这两个因式至少有一个为0，反过来，如果两个因式中有一个因式为0，那么它们之积为0，即 ab=0，则 a=0或 b=0或 a=b=0. 因式分解法的一般步骤： （1）将方程化为一元二次方程的一般形式 （2）把方程的左边分解为两个一次因式的积（因式分解） （3）令每个因式为0，得到两个一元一次方程 （4）解这两个一元一次方程得原方程的解 例：若-(p+q)x+pq=0;(x-p)(x-q)=0, 六、配方法 1.配方法基本步骤 如果一个一元二次方程的二次项系数为1，为了把方程中的二次项和一次项配凑成一个完全平方公式， 我们只需要在式子后面加上“一次项系数的一半的平方”即可． 用配方法解一元二次方程的步骤： 第一步 移项 将方程中含有未知数的项移到方 程的左边，常数项移到方程的右边； 第二步 二次项系数为化为1 根据等式的性质，在方程左右两边同时除以二次项的系数； 第三步 配方 方程左右两边同时加上一次项系数的一半的平方， 第四步 开平方 用直接开平方法解变形后的方程． 七、公式法 利用公式法解一元二次方程： 移项 =-c 二次项系数化为1 配方 + 开平方 一般习惯上说一元二次方程的根有两个，分两个相等的实数根，或两个不相等的实数根． 所以当 时，我们说方程有两个实数根． 题型一 一元二次方程的识别 【例题1-1】关于的一元二次方程的一个根为，则的值为（  ） A．1 B．-1 C．2 D．-2 【例题1-2】一元二次方程x2﹣3x﹣4＝0的一次项系数是（　　） A．1 B．﹣3 C．3 D．﹣4 【例题1-3】若关于x的方程是一元二次方程，则a的值不能为（    ） A．2 B．-2 C．0 D．3 【例题1-4】若关于的一元二次方程有一根为，则k的值为________． 【变式1-1】已知x=3是方程x2﹣ax+12=0的一个根，则a=_____． 【变式1-2】已知是方程的根，求的值为________． 【变式1-3】已知x=1是关于x的一元二次方程x2﹣4mx+m2=0的根，求代数式2m（m﹣2）﹣（m+）（m﹣）的值. 【同步测试1-1】已知方程是关于的一元二次方程． （1）求的取值范围； （2）若该方程的一次项系数为，求此方程的根． 【同步测试1-2】已知两个方程和仅有一个相同的根，求的值． 【同步测试1-3】将下列方程化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项系数、一次项系数和常数项： （1）；          （2）； （3）；       （4）． 题型二 一元二次方程的解法 【例题2-1】已知关于x的一元二次方程x2－2x=m有两个不相等的实数根，则m的取值范围是 A．m＜1 B．m＜－2 C．m=0 D．m＞－1 【例题2-2】用配方法解一元二次方程，配方后得到的方程是 A． B． C． D． 【例题2-3】一元二次方程的根的情况是（    ） A．有两个相等的实数根 B．只有一个实数根 C．有两个不相等的实数根 D．没有实数根 【例题2-4】已知：m、n是方程x2+2x﹣5=0的两个实数根，则m2﹣mn+2m=____． 【变式2-1】分解因式：________. 【变式2-2】一元二次方程的根是_______． 【变式2-3】已知关于的一元二次方程的一个根是1，求它的另一个根及m的值． 【同