《一类高考题的寻根之旅 ——从课本的一道习题谈起》教学设计

一类高考题的寻根之旅 ——从课本的一道习题谈起 广东高州中学 何忠贤（特级教师） 一、内容分析 1.教材与地位： 曲线和方程是解析几何的基本问题之一，核心就是曲线与方程的转化关系，而解析几何的基本思想就是建立曲线的方程，通过方程去研究曲线的性质，所以说曲线与方程是解析几何的一条主线，在历年的高考中也经常会有一些试题是以建立动点轨迹方程作为切入点的。因此，求轨迹方程是解决圆锥曲线问题的突破口、关键点。人教A版必修2，p124，B组，3题；人教A版选修2-1，P41，例3；而在近年高考的解析几何的解答题中，轨迹方程求解问题是一个热点、重点。 2. 内容解析：轨迹方程求解问题是高考中的一个热点、重点，在高考中难度一般为中低档，经常是出现在第一小问，但也不排除有难度较大的题目出现如：2014年广东卷 理科19。 3.从课本一道习题的解法，经过细究，发现该道习题是具有“生长性”的一道题优秀例题（称为根题），在它的基础上，数学人不仅能“看”出它的精髓，释放它的价值。而且以它为“根”，可以 “长”出许多好题,发现在高考的数学正卷中，同一个题根，竟连绵考核了10年以上，真是教材深处认得题根知考根。 二、学情分析 学情分析：学生已有的认知结构是初步掌握了求轨迹的基本步骤，但求轨迹的基本方法比较 模糊，没有形成规律性和系统性，对图形的变化缺乏动态的认识，对数学知识的综合运用心 理准备不足，通过这节课尽量让学生理清求轨迹方程的方法和步骤。 三、教学目标 1.理解“定比圆”相关概念； 2.掌握利用“定比圆”来求解轨迹方程； 3.将“定比圆”的概念及方法进行拓展，完善求曲线轨迹方程的知识结构。 四、教学重点 1.理解“定比圆”相关概念； 2.掌握利用“定比圆”来求解轨迹方程。 五、教学难点 将“定比圆”的概念及方法进行拓展，完善求曲线轨迹方程的知识结构。 六、教学方法 学生自主学习与教师讲授相结合 七、教学过程 （一）课程引入 题根案例 【根题】（人教A版必修2，p124，B组，3题） 已知点M与两个定点O（0，0）,A（3，0）的距离比为，求点M的轨迹方程. 【解析】如图，设动点，连结MO,MA, 有：， 化简得：， 即 方程（1）即为所求点M的轨迹方程， 它表示以C（-1，0）为圆心，2为半径的圆。 这道习题是具有“生长性”的一道题好题（称为根题）， 以它为“根”，可以 “长”出许多好题, 在高考的数学正卷中竟连绵考核了10年以上。 课程引入设计意图： 回归课本，提出问题，唤起学生对该节课的学习兴趣。 教学方式：学生自主学习与教师讲授相结合 （二）理论基础---根题推广 将如上根题推广到一般形式，即得轨迹问题：动点到定点的距离之比为定值λ.（c，λ为正数），求点的轨迹方程 . （本题实为2003年北京春季高考题） 【解析】依题意，由两点间距离公式：，化简得： 【讨论】方程的图形是什么？ ①当λ=1时，得 x = 0 ,也就是线段的垂直平分线（定义这样的直线为定比直线）； ②当λ≠1时，方程（1）变形得：， 化成标准形式：， 这是以为圆心，且半径的圆。（定义这样的圆为定比圆）。 本题设计意图：提出定比圆的概念，加强学生归纳总结能力，培养学生分类讨论的数学思想 （三）考场精彩 【题1】（2008.江苏卷，13题） △ABC满足条件的△ABC的面积的最大值是 ． 【解析】显然这是一例“定比圆”，建立如图的直角坐标系，因为 有，代入定比圆公式得：。 设圆心为M，显然当CM⊥x轴时，△ABC面积最大, 此时. 【题2】（2006，四川文8理6） 已知两定点 A (-2，0)，B (1，0)，如果动点P 满足| PA | =2| P B|，则点P的轨迹所包围的面积等于（ ） A.π 　 B.4π 　　　　C.8π 　　D.9π 【解析】显然这也是一例“定比圆” 而本题条件中的A,B关于y轴不对称，所以直接用定比圆公式不恰当，但由于知道轨迹一定是圆，圆面积只与半径有关，而半径公式为，当时，直接代入即得。 本题组设计意图：通过几个高考真题检验所提出的“定比圆”，提高学生进行类比、归纳总结的能力。 【题3】（2013.江苏卷，17题（2）） 如图，在平面直角坐标系中，点，直线.设圆C的半径为1，圆心在上. 若圆上存在点，使， 求圆心的横坐标的取值范围。 【解析】点C在直线上，故设 ∵半径，∴圆C的方程是： ． 满足的轨迹正是定比圆D，由 ， 这里圆心为D（0，-1）,半径． 两圆有公共点的条件是： 即，解得． 反思：图中可以直观地说明两圆公共点的变化情况， 当时，圆C为与所求圆D相切； 当时，圆C为,也与所求圆D相切。 这样，答案的正确性也就不言而喻了． （四）