5.1.1变化率问题 课件-2022-2023学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册

高二数学组 2023-02-14 5.1.1 变化率问题 博学 笃志 雅行 厚德 教学目标： 1、理解平均速度与瞬时速度 2、会求瞬时速度 教学重难点： 重点：理解瞬时速度就是平均速度的极限值 难点：理解瞬时速度的几何意义 博学 笃志 雅行 厚德 微积分的创立与处理四类科学问题直接相关 1 求物体在任意时刻的速度与加速度 2 求曲线的切线 3 求函数的最大值与最小值 4 求长度、面积、体积和重心等 导数是微积分的核心概念之一，是现代数学的基本概念，蕴含着微积分的基本思想；导数定量地刻画了函数的局部变化，是研究函数增减、变化快慢、最大（小）值等性质的基本方法. 导数的本质是什么？ 博学 笃志 雅行 厚德 问题1 高台跳水运动员的速度 在一次高台跳水运动中,某运动员在运动过程中的重心相对于水面的高度h(单位:m)与起跳后的时间t(单位:s)存在函数关系： 如何描述运动员从起跳到入水的过程中运动的快慢程度呢？ 我们可以把整个运动时间段分成许多小段, 用运动员在每段时间内的平均速度近似地描述他的运动状态. 探究新知 博学 笃志 雅行 厚德 问题1 高台跳水运动员的速度 请计算对应时间段的平均速度： 博学 笃志 雅行 厚德 要精确地描述非匀速直线运动,就要知道物体在每一时刻运动的快慢程度． 再计算： 问题1 高台跳水运动员的速度 思考：(1)运动员在这段时间里是静止的吗? (2)平均速度能准确反映运动员的运动状态吗? (1)在这段时间内，运动员并不处于静止状态. (2)用平均速度不能准确反映运动员在这段时间内里的运动状态. 博学 笃志 雅行 厚德 思考：（1）瞬时速度与平均速度有什么关系？ （2）你能利用这种关系求运动员在 t =1s时的瞬时速度吗？ 瞬时速度： 物体在某一时刻的速度 为了精确刻画运动员的运动状态，需要引入瞬时速度的概念. 问题1 高台跳水运动员的速度 博学 笃志 雅行 厚德 问题1 高台跳水运动员的速度 我们在t=1之后或之前，任意取一个时刻1+Δt，Δt是时间改变量，可以是正值，也可以是负值，但不为0. 博学 笃志 雅行 厚德 Δt < 0 Δt > 0 -0.01 0.01 -0.001 0.001 -0.0001 0.0001 -0.00001 0.00001 -0.000001 0.000001 给出Δt更多的值，计算 -4.951 -4.9951 -4.99951 -4.999951 -4.9999951 -5.049 -5.0049 -5.00049 -5.000049 -5.0000049 博学 笃志 雅行 厚德 博学 笃志 雅行 厚德 解: 例1 典例分析 博学 笃志 雅行 厚德 探究：抛物线的切线的斜率 我们知道，如果一条直线与一个圆只有一个公共点，那么这条直线与这个圆相切. 对于一般的曲线C，如何确定它的切线呢？ 下面我们以抛物线为例进行研究. 问题1：我们知道斜率是确定直线的一个要素，如何求抛物线 f(x)=x2 在点 P0(1,1) 处的切线的斜率呢？ 探究新知 博学 笃志 雅行 厚德 追问1：如果一条直线与一条曲线只有一个公共点，那么这条直线与这条曲线一定相切吗？ 追问2：如果一条直线与一条曲线相切，那么它们只有一个公共点吗？ 因此，我们不能像研究直线和圆的位置关系那样，通过交点的个数来定义相切了. 不一定 不一定 探究新知 博学 笃志 雅行 厚德 追问3：对于抛物线 f(x)=x2，应该如何定义它点 P0(1,1) 处的切线呢？ 几何意义：函数图象上过点 (1,h(1))和点(1+Δt, h(1+Δt))的直线斜率 类比上节课的研究思路，例如研究运动员在 t =1s的瞬时速度 几何意义是什么？ 探究新知 博学 笃志 雅行 厚德 x y O 1 2 1 2 3 4 P P0 将点P逐渐靠近点P0，观察割线P0P的位置变化情况. T 当点P无限趋近于点P0时，割线P0P无限趋近于一个确定的位置，这个确定的位置的直线P0T称为抛物线 f(x)=x2在点 P0(1,1) 处的切线. 追问3：对于抛物线 f(x)=x2，应该如何定义它点 P0(1,1) 处的切线呢？ 探究新知 博学 笃志 雅行 厚德