第05讲 指数与指数函数（题型归纳+解题技巧）-2024年高考数学《考点•题型•测试》一轮高效复习精讲精练（新高考地区专用）

第05讲　指数与指数函数 1．根式 (1)如果xn＝a，那么x叫做a的n次方根． (2)式子叫做根式，其中n叫做根指数，a叫做被开方数． (3)()n＝a. 当n为奇数时，＝a， 当n为偶数时，＝|a|＝ 2．分数指数幂 正数的正分数指数幂，＝(a>0，m，n∈N*，n>1)． 正数的负分数指数幂，＝＝(a>0，m，n∈N*，n>1)． 0的正分数指数幂为0，0的负分数指数幂没有意义． 3．指数幂的运算性质(a>0，b>0，r，s∈R) aras＝ar＋s； ； (ar)s＝ars； (ab)r＝arbr ． 4．指数函数及其性质 (1)概念：函数y＝ax(a>0，且a≠1)叫做指数函数，其中指数x是自变量，函数的定义域是R，a是底数． (2)指数函数的图象与性质 a>1 0<a<1 图象 定义域 R 值域 (0，＋∞) 性质 过定点(0,1)，即x＝0时，y＝1 当x>0时，y>1； 当x<0时，0<y<1 当x<0时，y>1； 当x>0时，0<y<1 在(－∞，＋∞)上是增函数 在(－∞，＋∞)上是减函数 一．指数幂的运算 例1．（1）化简（其中）的结果是（ ） A． B． C． D． （2）=_____________. （3）计算： （4）计算 （5）已知am＝4，an＝3，求的值． （6）已知＝3，求下列各式的值． ①a＋a－1；②a2＋a－2；③a2－a－2；④ 【复习指导】：(1)指数幂的运算首先将根式、分数指数幂统一为分数指数幂，以便利用法则计算，还应注意： ①必须同底数幂相乘，指数才能相加． ②运算的先后顺序． (2)当底数是负数时，先确定符号，再把底数化为正数． (3)运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数． 二．指数函数的图象及应用 例2．（1）函数的图像如图所示，其中为常数，则下列结论正确的是（     ） A．， B．， C．， D．， （2）如图所示，函数的图像是（     ） A． B． C． D． （3）函数与，其中，且，它们的大致图象在同一直角坐标系中有可能是（     ） A． B． C． D． （4）如图是指数函数①，②，③，④的图像，则a，b，c，d与0和1的大小关系是（     ） A． B． C． D． （5）若函数（且）的图像过第一、三、四象限，则必有（     ）． A． B． C． D． 【复习指导】：(1)对于有关指数型函数的图象问题，一般是从最基本的指数函数的图象入手，通过平移、伸缩、对称变换得到．特别地，当底数a与1的大小关系不确定时应注意分类讨论． (2)有关指数方程、不等式问题的求解，往往利用相应的指数型函数图象，数形结合求解． 三．指数函数的性质及应用 命题点1　比较指数式的大小 例3．（1）已知，则（ ） A． B． C． D． （2）下列各式比较大小，正确的是（     ） A．1.72.5＞1.73 B． C．1.70.3＞0.93.1 D． （3）已知，则 （ ） A． B． C． D． （4）设a＝，b＝，c＝，则a，b，c的大小关系是(　　) A．a>b>c B．b>c>a C．b>a>c D．a<b<c （5）已知，，，则（     ） A． B． C． D． 【复习指导】： (1)利用指数函数的性质比较大小或解方程、不等式，最重要的是“同底”原则，比较大小还可以借助中间量． (2)某些数或式大小关系问题，看似与函数的单调性无关，细心挖掘问题的内在联系，抓住其本质， 构造函数，分析并运用函数的单调性解题，它能起到化难为易、化繁为简的作用. (3)比较幂值大小的3种类型及处理方法 命题点2　解简单的指数方程或不等式 例4．（1）设，则“”是“”的（     ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 （2）函数的定义域是（     ）. A． B． C． D． （3）方程的解为______. （4）若，则函数的值域为________． （5）设0<a<1，则使不等式成立的x的集合是________． （6）已知指数函数f(x)的图象过点P(3,8)，且函数g(x)的图象与f(x)的图象关于y轴对称，又g(2x－1)<g(3x)，求x的取值范围． 【复习指导】：解指数不等式的基本方法是先化为同底指数式，再利用指数函数单调性化为常规的不等式来解，注意底数对不等号方向的影响． 命题点3　指数函数性质的综合应用 例5．（1）若函数的值域是，则的单调递增区间是（     ） A． B