1.2 矩形的性质与判定（第三课时 矩形的性质与判定综合应用）（同步课件）-2023-2024学年九年级数学上册同步精品课堂（北师大版）

1.2 矩形的性质与判定 第一章 特殊平行四边形 第三课时 矩形的性质与判定综合应用 北师大版 九年级上册 学习目标 1)进一步熟悉矩形的性质及其判定定理。 2)会综合应用矩形的性质及其判定定理进行相关计算或证明。 重点 1)进一步熟悉矩形的性质及其判定定理。 难点 会综合应用矩形的性质及其判定定理进行相关计算或证明。 课前导入 矩形的性质 两组对边平行 两组对边相等 邻角互补，对角相等 边 角 对角线 四个角是直角 两条对角线互相平分 两条对角线相等 有一个角是直角的平行四边形是矩形. 对角线相等的平行四边形是矩形. 有三个角是直角的四边形是矩形. 矩形的判定 定义法： 定理： 定理1： 定理2： 课前导入 例3 如图1-14，在矩形ABCD中，AD=6，对角线AC与BD交于点O，AE⊥BD，垂足为E，ED=3BE.求AE的长. 解：在矩形ABCD中，∠BAD=90°AO=BO=DO= BD ∵ED=3BE ∴BE=OE 又∵AE⊥BD ∴AB=AO ∴AB=AO=BO 即 △ABO是等边三角形 ∴∠ABO=60° ∴∠ADB=90°-∠ABO=30° 在Rt△AED中，∵∠ADB=30° ∴AE= AD= ×6=3. 探索与思考 如图1-15，在△ABC中，AB=AC，AD为∠BAC的平分线，AN为△ABC外角∠CAM的平分线，CE⊥AN，垂足为E.求证：四边形ADCE是矩形. 证明：∵AD平分∠BAC，AN平分∠CAM， ∴∠CAD= ∠BAC，∠CAN= ∠CAM. ∴∠DAE=∠CAD+∠CAN= （∠BAC+∠CAM）= ×180°=90° 在△ABC中，∵AB=AC，AD为∠BAC的平分线， ∴AD⊥BC ∴∠ADC=90° 又∵CE⊥AN ∴∠CEA=90° ∴四边形ADCE为矩形 探索与思考 在上题中，若连接DE，交AC于点F（如图1-16） （1）试判断四边形ABDE的形状，并证明你的结论. （2）线段DF与AB有怎样的关系？请证明你的结论. (1)平行四边形 (2)DF∥AB，DF= AB 探索与思考 已知矩形的长与宽，利用勾股定理、翻折的性质，求各线段边长。 探索与思考 已知矩形的长与宽，利用勾股定理、翻折的性质，求各线段边长。 探索与思考 已知矩形的长与宽，利用勾股定理、翻折的性质，求各线段边长。 探索与思考 已知矩形的长与宽，利用勾股定理、翻折的性质，求各线段边长。 探索与思考 已知矩形的长与宽，利用勾股定理、翻折的性质，求各线段边长。 探索与思考 已知矩形的长与宽，利用勾股定理、翻折的性质，求各线段边长。 探索与思考 1.有关矩形问题常转化为直角三角形或等腰三角形的问题来解决. 2.构造矩形对角线得相等线段. 3.勾股定理结合方程思想解决矩形折叠问题 D B C A 课堂总结 1．如图，在梯形中，，F为上一点，且，E为上一点，EC交AF于点G． (1)求证：四边形ABCF是矩形； (2)若，求证：． 【详解】（1）∵，∴四边形ABCF是平行四边形． ∵，∴四边形ABCF是矩形． （2）∵四边形ABCF是矩形，∴， ∴． ∵，∴．∴． ∵，∴．∴． 课堂练习 2．如图，已知在△OAB中AO＝BO，分别延长AO，BO到点C、D，使得OC＝AO，OD＝BO，连接AD，DC，CB． （1）求证：四边形ABCD是矩形； 【详解】证：（1）∵OC＝AO，OD＝BO ∴四边形ABCD是平行四边形 ∴AC＝2AO，BD＝2BO 又∵AO＝BO ∴AC＝BD ∴四边形ABCD是矩形； 课堂练习 2．如图，已知在△OAB中AO＝BO，分别延长AO，BO到点C、D，使得OC＝AO，OD＝BO，连接AD，DC，CB． （2）以AO，BO为一组邻边作平行四边形AOBE，连接CE．若CE⊥AE，求∠AOB的度数． （2）如图：连接OE与BD交于F ∵四边形AOBE是平行四边形∴AE＝BO 又∵AO＝BO∴AO＝AE ∵CE⊥AE∴∠AEC＝90° ∵OC＝OA∴OE＝AC＝AO∴OE＝AO＝AE ∴△AOE是等边三角形， ∴∠OAE＝60° ∵∠OAE＋∠AOB＝180°， ∴∠AOB＝120°． 课堂练习 3．如图，将一张矩形纸片ABCD沿直线MN折叠，使点C落在点A处，点D落在点E处，直线MN交BC于点M，交AD于点N． （1）求证：CM=CN； （2）若△CMN的面积与△CDN的面积比为3：1，求的值． 解：（1）证明：由折叠的性质可得：∠ANM=∠CNM， ∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC．∴∠ANM=∠CMN． ∴∠CMN=∠CNM．∴CM=CN． 课堂练习 3．如图，将一张矩形纸片ABCD沿直线MN折叠，使点C落在点A处，点D落在点E处，直线