四川省2023年北师大版初一升初二暑期模型复习2——角平分线模型

初一升初二暑期模型复习2——角平分线四大模型 角平分线四大模型 模型1 角平分线上的点向两边作垂线 条件：如图，P是∠MON的平分线上一点，过点P作PA⊥OM于点A，PB⊥ON于点B。 结论：PB=PA。 模型分析 利用角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，构造全等，为边相等、角相等、三角形全等创造更多的条件，进而可以快速找到解题的突破口。 角平分线判定定理——证明角平分线 定理内容： 在角的内部，到角两边距离相等的点在这个角的角平分线上。 定理数学表达： ∵PA⊥OM，PB⊥ON 且PA=PB ∴OP是∠MON的角平分线 【实战演练】 1．（2020-2021七中嘉祥外国语八年级（下）期末·17）（4分）如图，已知，，，若平分，平分外角，连接，则的度数为　 　． 2.（青羊区期末·25）如图，Rt△ACB中，∠ACB＝90°，△ACB的角平分线AD，BE相交于点P，过P作PF⊥AD交BC的延长线于点F，交AC于点H，则下列结论：①∠APB＝135°； ②AD＝PF+PH；③DH平分∠CDE；④S四边形ABDE＝S△ABP；⑤S△APH＝S△ADE，其中正确的结论是　 　．（填正确结论的番号） 3.（高新区期末·25）如图，点C为线段AB的中点，以BC为边作正方形BCDE，点F、点G分别在边DE、DC上，且满足DF＝DG，连接BF，连接AG并延长交BF于点H，连接DH．以下结论： ①△ACG≌△BEF； ②HD＝HG； ③AH⊥BF； ④∠DHG＝45°． 其中正确的有　 　（填序号）． 4.（武侯区期末·21）如图，AC平分∠BAD，CB⊥AB于点B，CD⊥AD于点D． （1）如图1，求证：CB＝CD； （2）如图2，点E，F分别是线段AD，AB上的动点，连接EF，交AC于点G，且满足DE+BF＝EF． （ⅰ）试探究∠AFE与∠ACE之间满足的数量关系，并说明理由； （ⅱ）若DE＝1，BF＝n，且S△AEF＝S△CED，请直接写出的值（用含n的代数式表示），不必写出求解过程． 模型2 截取构造对称全等 如图，P是∠MON的平分线上一点，点A是射线OM上任意一点，在ON上截取OB=OA，连接PB。 结论：△OPB≌△OPA。 模型分析 利用角平分线图形的对称性，在角的两边构造对称全等三角形，可以得到对应边、对应角相等。利用对称性把一些线段或角进行转移，这是经常使用的一种解题技巧。 【实战演练】 1．（金牛区期末·25）如图，在四边形ABCD中，AB＝2，BC＝12，CD＝18，E为BC边中点，若AE平分∠BAD，DE平分∠ADC，∠AED＝120°，则AD的长为　 　． 2．（2020-2021青羊区七年级（下）期末·20）（10分）（1）如图1，射线平分，在射线，上分别截取线段，，使，在射线上任取一点，连接，．求证：． （2）如图2，在中，，，平分，求证：． （3）如图3，在四边形中，，，，为边中点，若平分，平分，，求的值。 3．（2020-2021天府新区七年级（下）期末·20）（10分）如图，中，过点，分别作直线，，且，过点作直线交直线于，交直线于，设，． （1）如图1，若，分别平分和，求的度数； （2）在（1）的条件下，若，，求的长； （3）如图2，若，且，求的长．（用含，的式子表示） 模型3 角平分线+垂线构造等腰三角形 条件：如图，P是∠MON的平分线上一点，AP⊥OP于P点，延长AP于点B。 结论：△AOB是等腰三角形（AO=BO；AP=BP）。 模型分析 构造此模型可以利用等腰三角形的“三线合一”，也可以得到两个全等的直角三角形，进而得到对应边、对应角相等。这个模型巧妙地把角平分线和三线合一联系了起来。 【实战演练】 1．如图，在△ABC中，∠ABC=3∠C，AD是∠BAC的平分线，BE⊥AD于点E。求证：BE=（AC-AB）。 2．如图，在△ABC中，∠ABC=90°，AD平分∠BAC交BC于点D，∠C=30°，BE⊥AD于点E。 求证：AC-AB=2BE。 模型4 角平分线+平行线→等腰三角形 如图，P是∠MON的平分线上一点，过点P作PQ∥ON，交OM于点Q。 结论：△POQ是等腰三角形。 模型分析 有角平分线时，常过角平分线上一点作角的一边的平行线，构造等腰三角形，为证明结论提供更多的条件，体现了角平分线与等腰三角形之间的密切关系。 【实战演练】 1．（2020-2021新都区七年级（下）期末·8）（3分）如图，是的平分线，过上的一点作交于点．若，则的度数是　　 A． B． C． D． 2．（2020-2021天府新区七年级（下）期末·18）（8分）如图，在中，平分，为边上一点，连