专题05 二次根式的概念与化简-【暑假精品课程】2023年新八年级数学暑假衔接（北师大版，成都专用）

专题05 二次根式的概念与化简 【知识点精讲】 1.二次根式及代数式的概念 1.二次根式：一般地，我们把形如(a≥0)�的式子叫做二次根式，“”称为二次根号． 要点： 　　二次根式的两个要素：①根指数为2；②被开方数为非负数. 2.代数式：形如5，a，a+b，ab，，x3，这些式子，用基本的运算符号(基本运算包括加、减、乘、除、乘方、开方)把数和表示数的字母连接起来的式子，我们称这样的式子为代数式. 2.二次根式的性质 1.≥0，（≥0）； 2. （≥0）； 3.. 要点： 1.二次根式(a≥0)的值是非负数。一个非负数可以写成它的算术平方根的形式， 即. 2.与要注意区别与联系：1).的取值范围不同，中≥0，中为任意值。 2).≥0时，==；<0时，无意义，=. 3.最简二次根式 （1）被开方数不含有分母； （2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式. 满足这两个条件的二次根式叫最简二次根式. 要点：二次根式化成最简二次根式主要有以下两种情况： （1) 被开方数是分数或分式； （2）含有能开方的因数或因式. 【基础题型梳理】 题型1.二次根式的概念 例1．下列各式中，一定是二次根式的是（    ） A． B． C． D． 例2．下列式子，哪些是二次根式，哪些不是二次根式： ，，，，，，，，（）． 例3．已知是整数，那么自然数n可以是_______．(请你写出两个) 例4．若是整数，则整数n的所有可能的值为_______． 题型2.二次根式有意义的条件 例1．要使代数式有意义，则x的取值范围是__________． 例2．计算的结果为________． 例3．若x，y满足，则＝________． 例4．要使下列式子有意义，x的取值必须满足什么条件？ (1)． (2)． (3)． (4)． (5)． (6)． 题型3.二次根式的化简 例1．已知，两个实数在数轴上位置如图所示，则化简的结果是（      ）      A． B． C． D． 例2．先化简，再求值：（，），其中x，y满足． 例3．已知：实数a，b在数轴上对应的点的位置如图所示，化简： ．    例4．如图，一只蚂蚁从点A沿数轴向右爬了2个单位长度到达点B，点A表示，设点B所表示的数为m． （1）实数m的值是___________； （2）求的值； （3）在数轴上还有C、D两点分别表示实数c和d，且有与互为相反数，求的平方根． 题型4.最简二次根式 例1．下列二次根式是最简二次根式的是（　　） A． B． C． D． 例2．将下列二次根式化成最简二次根式： (1)； (2)； (3)（，，）． 例3．若与是被开方数相同的最简二次根式，求的值． 例4．已知二次根式． (1)求使得该二次根式有意义的的取值范围； (2)已知是最简二次根式，且与可以合并． ①求的值； ②求与的乘积． 【能力提升】 例．阅读材料：小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如，善于思考的小明进行了以下探索： 若设（其中、、、均为整数），则有，．这样小明就找到了一种把类似的式子化为平方式的方法，请你仿照小明的方法探索并解决下列问题： (1)若，当、、、均为整数时，用含、的式子分别表示、，得：______，______； (2)若，且、、均为正整数，求的值； (3)化简下列各式： ① ② ③． 【课后训练】 1．已知二次根式，当时，此二次根式的值为（    ） A．2 B． C．4 D． 2．下列二次根式是最简二次根式的是（    ） A． B． C． D． 3．与中 的取值范围相同的是（    ） A． B． C． D． 4．下列等式正确的是（ ） A． B． C． D． 5．已知：是整数，则满足条件的最小正整数为（　　） A．2 B．4 C．5 D．20 6．下列式子一定是二次根式是（　　） A． B．π C． D． 7．化简结果正确的是（    ） A． B． C． D． 8．当时，的值为______． 9．化简的结果为______． 10．是一个正整数，则的最小正整数是_____． 11．已知为实数，且满足，求的值． 12.将下列二次根式化成最简二次根式： (1)； (2)； (3)（） (4)（，，）． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 二次根式的概念与化简 【知识点精讲】 1.二次根式及代数式的概念 1.二次根式：一般地，我们把形如(a≥0)�的式子叫做二次根式，“”称为二次根号． 要点： 　　二次根式的两个要素：①根指数为2；②被开方数为非负数. 2.代数式：形如5，a，a+b，ab，，x3，这些式子，用基本的运算符号(基本运算包括加、减、乘、除、乘方、开方)把数和表示