上海交通大学附属中学2022-2023学年高一下学期期末考试数学试卷（2023.6）

交大附中2022学年第二学期高一年级数学期末 2023.6 一、填空题（本大题共12题，1—6题每题4分，7—12题每题5分，满分54分） 1．在平面直角坐标系中，过点且倾斜角为45°的直线不经过第______象限． 2．已知向量，，若，则实数______． 3．经过点且在x轴和y轴上截距都相等的直线方程为______． 4．若数列的前n项和为，则______． 5．已知中，角A，B，C所对的边，，，岀______． 6．欧拉公式（i为虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉提出的，它将指数函数的定义域扩大到复数集，则复数的虚部为______． 7．已知，则的最大值是______． 8．无穷实数等比数列的前n项和为，且，则首项的取值范围是______． 9．已知A、B、C是同一直线上三个不同的点，O为直线外一点，且在等差数列中，，则数列的前4044项和______． 10．函数的部分图象如图所示，则______． 11．意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：1，1，2，3，5，8，13，21，……．该数列的特点如下：前两个数都是1，从第三个数起，每一个数都等于它前面两个数的和．人们把由这样一列数组成的数列称为“斐波那契数列”，记是数列的前n项和，则______． 12．如图，，圆M与AB、AC分别相切于点D、E，，点P是圆M及其内部任意一点，且（x、），则的取值范围是______． 二、选择题（本大题共4题，每题5分，满分20分） 13．在下列四个命题中，正确的是（ ） A．若一条直线的斜率为，则此直线的倾斜角为 B．若一条直线的倾斜角为，则此直线的斜率为 C．坐标平面内的任何一条直线均有倾斜角和斜率 D．直线的倾斜角的取值范围是 14．已知函数，，则下列判断不正确的是（ ） A． B．在区间上只有1个零点 C．的最小正周期为 D．直线为函数的一条对称轴 15．平面螺旋是以一个固定点开始，向外圈逐渐旋绕而形成的图案，如图（1）．它的画法是这样的：正方形ABCD的边长为4，取正方形ABCD各边的四等分点E，F，G，H作第二个正方形，然后再取正方形EFGH各边的四等分点M，N，P，Q作第三个正方形，以此方法一直循环下去，就可得到阴影部分图案，设正方形ABCD边长为，后续各正方形边长依次为，，…，，…；如图（2）阴影部分，设直角三角形AEH面积为，后续各直角三角形面积依次为，，…，，…．则下列判断中不正确的是（ ） A．数列是以4为首项，为公比的等比数列 B．从正方形ABCD开始，连续3个正方形的面积之和为32 C．使得不等式成立的n的最大值为3 D．数列的前n项和 16．已知，是不共线的两个向量，，，若，，则的最小值为（ ） A．2 B． C．4 D． 三、解答题（本大题共5题，满分76分，） 17．本小题满分14分（第1小题满分6分，第2小题满分8分） 已知关于x的方程的两根分别为，． （1）若（i为虚数单位），求实数p的值； （2）若，求实数p的值． 18．本小题满分14分（第1小题满分6分，第2小题满分8分） 公元2232年6月1日，潜伏期长达十年的病毒，终于在某百万人口城市A爆发了．现已知：6月1日前A市未发现该病毒感染者，6月1日当天发现20人发病，该病毒经传染后发生异变．具有传染隐蔽，潜伏期短，致病快等特点． （1）若不采取防范措施，该病毒以每天增长50%的速度扩散（即第二天的新感染人数是前一天病人总数的50%），假设此病患者在这一个月内没有病愈及死亡情况，不考虑人口的流动，试计算该城市在哪一天（几月几号）全民患病（该市人口按1百万计算）？ （2）显然，此疫情发生后不久，注意到它的传染性，人们都会注意隔离防护，已确诊患者被医院收治后，也不易传染他人，这样每天的新感染者不是以等比数列增长． 现假设每天新感染者平均比前一天的新感染者增加50人．经过全体医务人员的努力，该市医疗部门找到有效措施，使该种病毒的传播得到控制，从某天起，每天的新感染者平均比前一天的新感染者减少30人，到6月30日止，该市在这30日内感染该病毒的患者总共8670人．问6月几日，该市感染此病毒的新患者人数最多？并求这一天的新患者人数． 19．本小题满分14分（第1小题满分6分，第2小题满分8分） 已知函数为偶函数，且图象的相邻两个最高点的距离为． （1）当时，求的单调增区间； （2）将函数的图象向右平移个单位长度，再把各点的横坐标缩小为原来（纵坐标不变），得到函数的图象．求函数在区间上的最大值和最小值． 20．本小题满分16分（第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分） 已知中，a，b，c是角A，B，C所对的边，，且． （1）求角B； （2）若，在的边AB，