(教案)1.4.1 第2课时 空间中直线、平面的平行-【提分教练】2022-2023学年新教材高中数学选择性必修第一册(人教A版2019)

第2课时　空间中直线、平面的平行 学习任务目标 1．能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的平行关系．(数学抽象) 2．能用向量方法证明直线与平面、平面与平面的平行的有关判定定理．(逻辑推理) (1)已知向量a＝(1,1)，b＝(2，x)，若a＋b与4b－2a平行，则实数x的值是(　　) A．－2 B．0 C．1 D．2 D　解：a＋b＝(1,1)＋(2，x)＝(3，x＋1)，4b－2a＝4(2，x)－2(1，1)＝(6，4x－2)，因为a＋b与4b－2a平行，所以3(4x－2)－6(x＋1)＝0. 即12x－6－6x－6＝0，解得x＝2. (2)已知向量a＝(2，1)，b＝(m，－1)，且b⊥(2a－b)，则|b|为________． 　解：2a－b＝(4－m，3)，因为b⊥(2a－b)， 所以m(4－m)＋(－1)×3＝0，即m＝1或3，则|b|＝＝或|b|＝＝. 知识点一　直线与直线平行 如图，设u1，u2 分别是直线l1，l2的方向向量，则l1∥l2⇔u1∥u2⇔∃λ∈R，使得u1＝λu2. 知识点二　直线与平面平行 如图，设u是直线l的方向向量，n是平面α的法向量，l⊄α则l∥α⇔u⊥n⇔u·n＝0. 知识点三　平面与平面平行 如图，设n1，n2 分别是平面α，β的法向量，则α∥β⇔n1∥n2⇔∃λ∈R，使得n1＝λn2. [微训练] 1．已知两个不重合的平面α，β的法向量分别为u1＝(1，－1，1)，u2＝(－4，4，－4)，则平面α，β的位置关系为α∥β. 2．若直线l的方向向量a＝(2，2，－2)，平面α的法向量μ＝(－6，8，2)，则直线l与平面α的位置关系是________． l⊂α或l∥α　解析：因为μ·a＝－12＋16－4＝0， 所以μ⊥a，所以l⊂α或l∥α. 利用空间向量判断线线、线面关系 1．已知n为平面α的一个法向量，l为一条直线，则“l⊥n”是“l∥α”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 B　解析：当“l⊥n”时，由于l可能在平面α内，所以无法推出“l∥α”． 当“l∥α”时，必有“l⊥n”． 综上所述，“l⊥n”是“l∥α”的必要不充分条件．故选B. 2．平面α的一个法向量为v1＝(1,2,1)，平面β的一个法向量v2＝(－2,－4,－2)，则平面α与平面β(　　) A．平行 B．垂直 C．相交 D．不能确定 A　解析：因为平面α的一个法向量为v1＝(1,2,1)，平面β的一个法向量v2＝－(2,4,2)，所以v2＝－2v1.所以v1∥v2.所以α∥β.故选A. 利用空间向量证明线线、线面平行关系 以前人们为夯实地面，采用的是一种由三人合作使用的石制工具，石墩上有三个石耳，用三根粗绳子拴着，三个人站在三个方位上，同时拉绳子使石墩离开地面，然后落下石墩夯实地面．若三个人所站方位使得绳子两两成等角，且与水平地面所成角为45°，为了使质量为100 kg的石墩垂直离开地面．每个人至少需要用 kg的力． 探究1：在空间中给定一个定点A(一个石耳)和一个定方向(绳子方向)，能确定这条直线在空间的位置吗？ 提示：能． 探究2：若直线的方向向量u和平面的法向量n垂直，那么这条直线与平面有什么关系？ 提示：直线与平面垂直或直线在平面内． 【例1】在长方体ABCD­A1B1C1D1中，E，F分别是面对角线B1D1，A1B上的点，且D1E＝2EB1，BF＝2FA1.求证：EF∥AC1. 证明：如图，分别以DA，DC，DD1所在的直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系． 设DA＝a，DC＝b，DD1＝c，则A(a,0,0)，C1(0，b，c)，E，F. 所以＝，＝(－a，b，c)， 所以＝. 又FE与AC1不共线，所以直线EF∥AC1. 【例2】如图，在三棱锥P­ABC中，PA⊥底面ABC，∠BAC＝90°，点D，E，N分别为棱PA，PC，BC的中点，M是线段AD的中点，PA＝AC＝4，AB＝2.求证：MN∥平面BDE. 证明：如图，以A为原点，AB，AC，AP所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，依题意可得A(0,0,0)，B(2,0,0)，C(0,4,0)，P(0,0,4)，D(0,0,2)，E(0,2,2)，M(0,0,1)，N(1,2,0)． 所以＝(0,2,0)，＝(2,0，－2)． 设n＝(x，y，z)为平面BDE的法向量， 则即 不妨设z＝1，可得n＝(1,0,1)为平面BDE的一个法向量． 又＝(1,2，－1)， 可得·n＝0. 因为MN⊄平面BDE，所以MN∥平面BDE. 【类题通法】 证明直线与平面平行，只需证明直线的方向向量与平面的法向量的数量积为零，或证直线的方向向量与平面内的不共线的两个向量共面