第03讲 函数的奇偶性、对称性与周期性（题型归纳+解题技巧）-2024年高考数学《考点•题型•测试》一轮高效复习精讲精练（新高考地区专用）

第03讲　函数的奇偶性、周期性与对称性 1．函数的奇偶性 奇偶性 定义 图象特点 偶函数 一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果∀x∈I，都有－x∈I，且f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数 关于y轴对称 奇函数 一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果∀x∈I，都有－x∈I，且f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数 关于原点对称 2．周期性 (1)周期函数：对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有 f(x＋T)＝f(x)，那么就称函数y＝f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期． (2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期． (3)函数周期性常用结论 对f(x)定义域内任一自变量的值x： ①若f(x＋a)＝－f(x)，则T＝2a(a>0)． ②若f(x＋a)＝，则T＝2a(a>0)． ③若f(x＋a)＝－，则T＝2a(a>0)． ④若f(x＋a)＋f(x)＝c，则T＝2a(a>0，c为常数)． 3．对称性 (1)若函数f(x)满足f(a＋x)＝f(b－x)，则y＝f(x)的图象关于直线x＝对称． (2)若函数f(x)满足f(a＋x)＝－f(b－x)，则y＝f(x)的图象关于点对称． (3)若函数f(x)满足f(a＋x)＋f(b－x)＝c，则函数f(x)的图象关于点对称． 一．函数的奇偶性 命题点1　判断函数的奇偶性 例1．判断下列函数的奇偶性： （1）；         （2）； （3）；            （4）. （5）． （6）． （7）． （8） （9） （10） 【复习指导】：判断函数奇偶性的方法 (1)定义法： ①定义域关于原点对称； ②确定f(－x)与f(x)的关系． (2)图象法． 命题点2　函数奇偶性的应用 例2．（1）设f(x)为奇函数，且当x≥0时，f(x)=，则当x<0时，f(x)=（ ） A． B． C． D． （2）已知f（x）是R上的偶函数，且当x＞0时f（x）=x（1-x），则当x＜0时f（x）的解析式是f（x）=（　　） A． B． C． D． （3）若函数是定义在上的偶函数，则该函数的最大值为（ ） A．5 B．4 C．3 D．2 （4）已知函数f(x)＝为定义是区间[－2a，3a－1]上的奇函数，则a＋b＝________． （5）函数是偶函数，则实数__________． （6）已知为偶函数，且当时，，则在处的切线方程为______． （7）已知，分别是上的奇函数和偶函数，且，试求和的表达式． 【复习指导】：1. 利用函数奇偶性可以解决以下问题 (1)求函数值：将待求值利用奇偶性转化为求已知解析式的区间上的函数值． (2)求解析式：将待求区间上的自变量转化到已知解析式的区间上，再利用奇偶性的定义求出． (3)求解析式中的参数：利用待定系数法求解，根据f(x)±f(－x)＝0得到关于参数的恒等式，由系数的对等性得方程(组)，进而得出参数的值． (4)画函数图象：利用函数的奇偶性可画出函数在其对称区间上的图象． (5)求特殊值：利用奇函数的最大值与最小值之和为零可求一些特殊结构的函数值． 2. 利用奇偶性求参数的常见类型 (1)定义域含参数：奇偶函数f(x)的定义域为[a，b]，根据定义域关于原点对称，利用a＋b＝0求参数． (2)解析式含参数：根据f(－x)＝－f(x)或f(－x)＝f(x)列式，比较系数利用待定系数法求解． 3. 求给定哪个区间的解析式就设这个区间上的变量为x，然后把x转化为－x，此时－x成为了已知区间上的解析式中的变量，通过应用奇函数或偶函数的定义，适当推导，即可得所求区间上的解析式． 二．函数的周期性 例3．（1）已知是定义在上的奇函数，对任意，都有，若，则=（ ） A．2013 B．2 C．-2 D．2012 （2）已知函数是上的偶函数，且的图象关于点对称，当时，，则的值为（     ） A． B． C．0 D．1 （3）奇函数的定义域为，若为偶函数，且，则（ ） A． B． C． D． 【复习指导】：利用对数函数的性质，求与对数函数有关的函数值域和复合函数的单调性问题，必须弄清三方面的问题：一是定义域，所有问题都必须在定义域内讨论；二是底数与1的大小关系；三是复合函数的构成，即它是由哪些基本初等函数复合而成的．另外，解题时要注意数形结合、分类讨论、转化与化归思想的应用． （4）设是定义在实数集上的周期为2的周期函数，且是偶函数，已知当时，，则当时，的解析式为______________ （5）已知函数的定义域为R，且