重难点10四种方法求二次函数的解析式-【暑假预习】2023年新九年级数学核心知识点与常见题型通关讲解练（沪教版）

重难点10四种方法求二次函数的解析式 【知识梳理】 1.一般式 当题目给出函数图像上的三个点时，设为一般式（，，为常数，），转化成一个三元一次方程组，以求得a，b，c的值； 2.顶点式 若已知抛物线的顶点或对称轴、最值，则设为顶点式．这顶点坐标为（ h，k ），对称轴直线x = h，最值为当x = h时，y最值=k来求出相应的系数. 3.交点式 已知图像与 x轴交于不同的两点，设二次函数的解析式为，根据题目条件求出a的值． 4.平移变换型 将一个二次函数的图像经过上下左右的平移得到一个新的抛物线．要借此类题目，应先将已知函数的解析是写成顶点式y = a( x – h)2 + k，当图像向左（右）平移n个单位时，就在x – h上加上（减去）n；当图像向上（下）平移m个单位时，就在k上加上（减去）m．其平移的规律是：h值正、负，右、左移；k值正负，上下移．由于经过平移的图像形状、大小和开口方向都没有改变，所以a得值不变． 【考点剖析】 解法一：一般式 1.一个二次函数的图象经过（0，0），（﹣1，﹣1），（1，9）三点，求这个二次函数的解析式． 2.已知一个二次函数的图象经过（﹣1，10），（1，4），（2，7）三点．求这个二次函数的解析式，并求出它 的开口方向、对称轴和顶点坐标． 3.二次函数图象过A，C，B三点，点A的坐标为（﹣1，0），点B的坐标为（4，0），点C在y轴正半轴上， 且AB＝OC，求二次函数的表达式． 4.如图所示，四边形ABCD是平行四边形，过点A、C，D作抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0），点A，B，D的坐标 分别为（﹣2，0），（3，0），（0，4），求抛物线的解析式． 5．（2021·上海宝山·九年级期中）在平面直角坐标系中，抛物线经过点和点，与轴交于点， （1）求该抛物线的表达式及点的坐标； （2）将抛物线平移，使点落在点处，点落在点处，求的面积； （3）如果点在轴上，与相似，求点的坐标． 解法二：顶点式 1.设二次函数的图象的顶点坐标为（﹣2，2），且过点（1，1），求这个函数的关系式． 2.已知二次函数当x＝1时有最大值是﹣6，其图象经过点（2，﹣8），求二次函数的解析式． 3．（上海杨浦区·九年级一模）在平面直角坐标系xOy中，抛物线交 y轴于点为A，顶点为D，对称轴与x轴交于点H． （1）求顶点D的坐标（用含m的代数式表示）； （2）当抛物线过点（1，-2），且不经过第一象限时，平移此抛物线到抛物线的位置，求平移的方向和距离； （3）当抛物线顶点D在第二象限时，如果∠ADH=∠AHO，求m的值． 解法三：交点式 1.如果二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过点（﹣1，0），（3，0），（0，﹣6），求二次函数表达式． 2.如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（﹣1，0），点B，点C分别为x轴，y轴正半轴上一点，其满足OC＝OB＝2OA．求过A，B，C三点的抛物线的表达式； 3.已知抛物线过A（1，0）和B（4，0）两点，交y轴于C点，且BC＝5，求该二次函数的解析式． 4．（2021·上海）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点． （1）求该抛物线的表达式及点的坐标： （2）如果点的坐标为，联结、，求的正切值； （3）在（2）的条件下，点为抛物线上一点，当时，求点的坐标． 解法四：平移变换型 1.将抛物线y＝x2﹣6x+5向上平移两个单位长度，再向右平移一个单位长度后，求平移后的抛物线解析式． 2.将抛物线y＝2x2先向下平移3个单位，再向右平移m（m＞0）个单位，所得新抛物线经过点（1，5），求新抛物线的表达式及新抛物线与y轴交点的坐标． 3.已知a+b+c＝0且a≠0，把抛物线y＝ax2+bx+c向下平移一个单位长度，再向左平移5个单位长度所得到的新抛物线的顶点是（﹣2，0），求原抛物线的表达式． 4．（上海格致中学九年级月考）把二次函数这个图像上下平移，使其顶点恰好落在正比例函数的图像上，求平移后二次函数的解析式 5.抛物线y＝x2+2x﹣3与x轴正半轴交于A点，M（﹣2，m）在抛物线上，AM交y轴于D点，抛物线沿射线AD方向平移个单位，求平移后的解析式． 6．（2020·上海）已知：抛物线，经过点A(-1,-2)，B(0,1). （1）求抛物线的关系式及顶点P的坐标. （2）若点B′与点B关于x轴对称，把（1）中的抛物线向左平移m个单位，平移后的抛物线经过点B′，设此时抛物线顶点为点P′. ①求∠P′B B′的大小. ②把线段P′B′以点B′为旋转中心顺时针旋转120°，点P′落在点M处，设点N在（1）中的抛物线上，当△MN B′的面积等于6时，求点N的坐标. 7．（2022·上海·中考真题）已知：经过点，． (1)求函数解析式； (2)平移抛物线使得新