第11讲 用空间向量研究距离、夹角问题11种常见考法归类-【暑假自学课】2023年新高二数学暑假精品课（人教A版2019选择性必修第一册）

第11讲 用空间向量研究距离、夹角问题11种常见考法归类 会用向量法求线线、线面、面面的夹角及与其有关的角的三角函数值；会用向量法求点点、点线、点面、线线、线面、面面之间的距离及与其有关的面积与体积. 知识点1 空间距离及向量求法 分类 点到直线的距离 点到平面的距离 图形语言 文字语言 设u为直线l的单位方向向量，A∈l，Pl，＝a，向量在直线l上的投影向量为 （＝(a·u)u.）， 则PQ＝＝ 设已知平面α的法向量为n，A∈α，Pα，向量是向量在平面上的投影向量， PQ＝＝ 注：实质上，n是直线l的方向向量，点P到平面α的距离就是在直线l上的投影向量的长度． 注意点： (1)两条平行直线之间的距离：在其中一条直线上取定一点，则该点到另一条直线的距离即为两条平行直线之间的距离． (2)如果一条直线l与一个平面α平行，可在直线l上任取一点P，将线面距离转化为点P到平面α的距离求解． (3)如果两个平面α，β互相平行，在其中一个平面α内任取一点P，可将两个平行平面的距离转化为点P到平面β的距离求解． 知识点2　空间角及向量求法 角的分类 向量求法 范围 异面直线所成的角 设两异面直线所成的角为θ，两直线的方向向量分别为u，v，则 cos θ＝|cos〈u，v〉|＝ （1） 两异面直线所成角的范围是 （2） 两异面直线所成的角与其方向向量的夹角是相等或互补的关系． 直线与平面所成的角 设直线l与平面α所成的角为θ，l的方向向量为u，平面α的法向量为n，则 sin θ＝|cos〈u，n〉|＝ (1)线面角的范围为. (2)直线与平面所成的角等于其方向向量与平面法向量所成锐角的余角． 两平面的夹角 平面α与平面β相交，形成四个二面角，把不大于的二面角称为这两个平面的夹角．设平面α与平面β的夹角为θ，两平面α，β的法向量分别为n1，n2，则cos θ＝|cos〈n1，n2〉|＝ (1)两个平面的夹角的范围是 (2)两平面的夹角是两法向量的夹角或其补角． 思考：（1）两个平面的夹角与二面角的平面角的区别？ 平面α与平面β的夹角：平面α与平面β相交，形成四个二面角，我们把这四个二面角中不大于90° 的二面角称为平面α与平面β的夹角．二面角的平面角范围是[0，π]，而两个平面的夹角的范围是. （2） 平面与平面所成的夹角与两平面的法向量所成夹角有何关系？ 两平面的夹角是两法向量的夹角或其补角． 1、用向量法求点到直线的距离的一般步骤 (1)求直线的方向向量． (2)计算所求点与直线上某一点所构成的向量在直线的方向向量上的投影向量的长度． (3)利用勾股定理求解．另外，要注意平行直线间的距离与点到直线的距离之间的转化． 2、求点到平面的距离的四步骤 注：线面距、面面距实质上都是求点面距，求直线到平面、平面到平面的距离的前提是线面、面面平行．　 3、基向量法求异面直线的夹角的一般步骤 (1)找基底． (2)用同一组基底表示两异面直线的方向向量． (3)利用向量夹角公式求出两条直线的方向向量夹角的余弦值． (4)结合异面直线的夹角范围得到异面直线的夹角． 4、用空间向量法求异面直线夹角的步骤 (1)确定两条异面直线的方向向量． (2)确定两个向量夹角的余弦值的绝对值． (3)得出两条异面直线所成的角． 5、求直线与平面所成角的思路与步骤 思路一：找直线在平面内的射影，充分利用面与面垂直的性质及解三角形知识可求得夹角(或夹角的某一三角函数值)． 思路二：用向量法求直线与平面所成角可利用向量夹角公式或法向量．利用法向量求直线与平面所成角的基本步骤： ①建立空间直角坐标系； ②求直线的方向向量； ③求平面的法向量n； ④计算：设线面角为θ，则sin θ＝.　　　　 6、向量法求两平面的夹角(或其某个三角函数值)的三个步骤 求两平面夹角的两种方法 (1)定义法：在两个平面内分别找出与两平面交线垂直的直线，这两条直线的夹角即为两平面的夹角．也可转化为求与两平面交线垂直的直线的方向向量的夹角，但要注意其异同． (2)法向量法： ①建立适当的坐标系，写出相应点的坐标； ②求出两个半平面的法向量n1，n2； ③设两平面的夹角为θ，则cos θ＝|cos〈n1，n2〉|. 或π－〈n1，n2〉 [注意]　若要求的是二面角，则根据图形判断该二面角是钝角还是锐角，从而用法向量求解． 7、立体几何中的探索性问题 立体几何中的探索性问题，在命题中多以解答题的一步出现，试题有一定的难度． 这类题型常以适合某种条件的结论“存在”“不存在”“是否存在”等语句表述．解答这类问题，一般要先对结论作出肯定的假设，然后由此肯定的假设出发，结合已知条件进行推理论证，若导致合理的结论，则存在性也随之解决；若导致矛盾，则否定了存在性．