专题1.9 勾股定理的应用（知识梳理与考点分类讲解）-2023-2024学年八年级数学上册基础知识专项突破讲与练（北师大版）

专题1.9 勾股定理的应用（知识梳理与考点分类讲解） 【知识点1】几何体上的最短路线 1. 圆柱上的最短路线 求圆柱上两点之间的最短距离，可转化为求一个平面上的对应线段的长。 其一般步骤 （1） 将圆柱的侧面展开为一个长方形； （2） 确定相应点的位置； （3） 连接相应点，构造直角三角形； （4） 利用勾股定理求解。 2. 长方体的最短路线 求长体上A、B两点之间距离，将长方体相邻两个面展开有三种方式 （1） 如图①右侧面向前展开，此时 （2） 如图②上底面向前展开，此时 （3） 如图③上底面向左展开，此时 总结得出：若ab<c,则AB最小值为 3. 几何体上最短路线在圆柱中的应用 【知识点2】勾股定理的实际应用 4. 求梯子与旗杆的高度 5. 求小鸟飞行的距离 6. 求大树折断前的高度 7. 求水杯中的筷子问题 8. 解决航海问题 9. 求河宽 10. 求台阶上地毯的长度 11. 汽车超速问题 12. 台风问题 【考点一】几何体上的最短路线 【例1】有一圆柱形油罐，如图，要从点A环绕油罐建梯子，正好到A点的正上方点B，问梯子最短要多少米？（已知油罐底面周长是12米，高是5米） 【答案】梯子最短要13米 【分析】要求梯子的最短长度，需将圆柱的侧面展开，进而根据“两点之间线段最短”结合勾股定理得出结果． 解：如图，将圆柱体展开，连接，如图所示： 根据两点之间线段最短，梯子最短是： 答：梯子最短是13米． 【点拨】本题主要考查了勾股定理的应用，解题的关键是要明确，要求两点间的最短线段，就要把这两点放到一个平面内，即把圆柱的侧面展开再计算． 【举一反三】 【变式】葛藤是一种刁钻的植物．它自己腰托不硬，为了争夺雨露阳光，常常绕着树干盘旋而上，它还有一手绝招，就是绕树盘旋上升的路段，总是沿着最短路线——盘旋前进的，难道植物也懂得数学吗？阅读以上信息，你能设计一种方法解决下列问题吗？ (1) 如图，如果树干的周长（即底面圆的周长）为30cm，从点A绕一圈到点B，葛藤升高40cm，则它爬行路程是多少厘米？ (2) 如果树干的周长（即底面圆的周长）为40cm，绕一圈爬行50cm，则爬行一圈升高多少厘米？如果爬行10圈到达树顶，则树干高多少厘米？ 【答案】(1) 50cm； (2) 300cm 【分析】（1）将圆柱展开，可知底面圆周长，即为 的长，圆柱的高即为 的长，求出 的长即为葛藤绕树的最短路程． （2）先根据勾股定理求出绕行1圈的高度，再求出绕行10圈的高度，即为树干高． （1）解：如图， 树干的周长即底面圆的周长为30cm cm 葛藤升高40cm cm 由勾股定理得 所以，葛藤爬行的路程是50cm （2）解： 树干的周长即底面圆的周长为40cm cm 葛藤绕一圈爬行50cm cm 由勾股定理得绕行1圈的高度 爬行10圈到达树顶 树干高 cm 所以，树干高为300cm 【点拨】本题考查了圆柱的侧面展开图和勾股定理，解题关键是要弄清底面圆的周长即为矩形的边 的长． 【例2】如图，长方体盒子的长宽高分别为，，，在中点处有一滴蜜糖，有一只小虫从点爬到处去吃，有很多种走法，请你求出最短路线长． 【答案】 【分析】要求长方体中两点之间的最短路径，最直接的作法，就是将长方体的侧面展开，然后利用两点之间线段最短解答． 解：①如图，连接， 在中，，， 由勾股定理得：，此时； ①如图，连接， 在中，，， 由勾股定理得：； ∵， ∴从处爬到处的最短路程是． 【点拨】本题考查了平面展开最短路径问题，关键是画出图形知道求出哪一条线段的长，题目具有一定的代表性，是一道比较好的题目，切记要进行分类讨论． 【举一反三】 【变式】如图，在一个长米，宽米的长方形草地上放着一根长方形木块，已知该木块的较长边和草地宽平行，横截面是边长为米的正方形，一只蚂蚁从点A处，爬过木块到达C处需要走的最短路程是多少米？ 【答案】最短路程是10米 【分析】解答此题要将木块展开，然后根据两点之间线段最短解答． 解：由题意可知，将木块展开，相当于是个正方形的宽， ∴长为米；宽米． 于是最短路径为：米． 答：最短路程是10米． 【点拨】本题主要考查了勾股定理求最短路径问题，两点之间线段最短，掌握勾股定理是解题的关键． 【例3】如图，圆柱形容器的高为120cm，底面周长为100cm，在容器内壁离容器底部40cm的点B处有一蚊子，此时一只壁虎正好在容器外壁，离容器上沿40cm与蚊子相对的点A处，求壁虎捕捉蚊子的最短距离． 【答案】130cm 【分析】将容器侧面展开，建立A关于EC的对称点，根据两点之间线段最短可知B