专题十八 一次函数存在性问题-2023年数学八年级暑假培训专题复习

数学八年级下暑假培优专题训练 专题十八、一次函数存在性问题 【专题导航】 目录 【考点一 一次函数中等腰三角形存在性】..........................1 【考点二 一次函数中平行四边形的存在性】........................3 【考点三 一次函数中面积的存在性】..............................6 【考点四 一次函数中最值问题】..................................7 【聚焦考点1】 动点产生的等腰三角形的一般解法，以三角形ABC为等腰三角形为例： （1） 分类.；AB=AC，AB=BC，AC=BC； （2） 画图； ①以 AB 为半径，点 A 为圆心做圆， 此时，圆上的点与 A、B 构成以 A 为 顶点的等腰三角形 ②以 AB 为半径，点 B 为圆心做圆， 此时，圆上的点与 A、B 构成以 B 为 顶点的等腰三角形 ③做 AB 的垂直平分线，此时，直线上的点（除 F 点外）与 A、B 构成以 C 为 顶点的等腰三角形 （3） 列方程；利用两点间的距离公式表示出线段AB,BC,AC的长度.根据AB=AC，AB=BC，AC=BC分类列方程 注意：如果三角形的三个角都是不确定的，而三个顶点的坐标可以用含x的式子表示出来，那么根据两点间的距离公式，三边长（的平方）就可以罗列出来 【典例剖析1】 【考点一 一次函数中等腰三角形存在性】 【典例1-1】如图：在平面直角坐标系中，直线与坐标轴交与，两点，直线与直线交于点． (1)求点坐标； (2)在轴上有一点，在的右侧，若；求点坐标； (3)在第（2）小题的条件下，点为轴正半轴上一点，且，若在轴上存在一个点，使得是等腰三角形，直接写出点坐标． 【典例1-2】如图1，在平面直角坐标系中，直线与轴、轴相交于、两点，动点在线段上，将线段绕着点顺时针旋转得到，此时点恰好落在直线上时，过点作轴于点．    (1)求证：； (2)如图2，将沿轴正方向平移得，当直线经过点时，求点的坐标； (3)在轴上是否存在点，使得以、、为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请直接写出两个符合条件的点的坐标． 针对训练1 【变式1-1】如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与正比例函数的图象交于点．    (1)求m，n的值； (2)设一次函数的图象与x轴交于点B，与y轴交于点C，求点B，点C的坐标； (3)写出使函数的值小于函数的值的自变量x的取值范围； (4)在x轴上是否存在点P使为等腰三角形，若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【变式1-2】．如图，直线与x轴、y轴分别交于点B和点A，若P是y轴负半轴上一动点，且是等腰三角形，则符合条件的P有________个． 【聚焦考点2】 解平行四边形的存在性问题一般分三步： 第一步：寻找分类标准；第二步：画图；第三步计算． 用对角线互相平分.即平行四边形对角线两端点的横坐标、纵坐标之和分别相等． 【典例剖析2】 【考点二 一次函数中平行四边形的存在性】 【典例2-1】如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点C在x轴上，点A在y轴上，在四边形中，，点B的坐标为，．    (1)求点C的坐标； (2)动点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿射线运动，过点P作轴，垂足为H，直线交直线于点Q，设的长度为，点P的运动时间为t秒，求d与t之间的函数关系式，并直接写出自变量t的取值范围； (3)在坐标平面内，是否存在一点M，使得以A，B，C，M为顶点的四边形为平行四边形？如果存在，请直接写出点M的坐标；如果不存在，请说明理由． 【典例2-2】如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，将线段绕点A顺时针旋转，得到线段，过点B，C作直线，交x轴于点D． (1)点C的坐标为 　　 ；求直线的表达式； (2)若点E为线段上一点，且△ABE的面积为，求点E的坐标； (3)在（2）的条件下，在平面内是否存在点P，使以点A，B，E，P为顶点的四边形为平行四边形？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 针对训练2 【变式2-1】如图在平面直角坐标系中，直线分别交轴，轴于、两点，点的坐标为，且点的坐标为． (1)求点坐标； (2)若点、关于直线对称，在备用图中画出直线，再求直线的函数解析式； (3)点是直线上的动点，点是y轴上的动点，当B、C、M、N为顶点的四边形是平行四边形时，求点N的坐标． 【变式2-2】如图，四边形为矩形，点在轴上，点在轴上，点坐标是，点坐标是，矩形沿直线折叠，点落在边上的处，、分别在、上，直线解析式为，点