专题十七 一次函数与方程不等式的关系-2023年数学八年级暑假培训专题复习

数学八年级下暑假培优专题训练 专题十七、一次函数与方程不等式的关系 【专题导航】 目录 【考点一 由方程的解确定与坐标轴的交点】............................1 【考点二 已知直线与坐标轴的交点求方程的解】........................4 【考点三 图像法解二元一次方程】....................................6 【考点四 两直线交点与二元一次方程及围成的面积】....................9 【考点五 由两条直线的交点确定不等式的解集】........................11 【聚焦考点】 一次函数 一元一次方程 y=kx+b kx+b=m 方程kx+b=m的解即是函数值为m时的自变量x的取值 一次函数 一元一次不等式 y=kx+b kx+b>mkx+b<mkx+b>m的解集即是函数y=kx+b的图象在直线y=m上方部分的自变量x的取值范围 kx+b<m的解集即是函数y=kx+b的图象在直线y=m下方部分的自变量x的取值范围 在上面总结的基础上，我们可以得到： ①二元一次方程组与一次函数的关系 的解是函数和函数的交点坐标. ②一元一次不等式与一次函数关系 的解集是函数的图象在函数的图象上方时自变量x的取值范围. 图3 如图3所示，的解是x=－0.5，y=1， 的解集是：x<－0.5； 的解集是：x≥－0.5. 这就是我们数学上由数及形，数形结合的方法. 图象是学习函数的核心，同学们要对函数的图象烂熟于心，且能快速准确的作出图形. 【典例剖析1】 【考点一 由方程的解确定与坐标轴的交点】 【典例1-1】一次函数的图象经过点和两点． (1)求出该一次函数的表达式； (2)若直线AB与x轴交于点C，求的面积． 【典例1-2】学习函数的时候我们通过列表、描点和连线的步骤画出函数的图象，进而研究函数的性质．请根据学习“一次函数”时积累的经验和方法研究函数的图象和性质，并解决问题． (1)①列表填空； … 0 1 … … __ 1 2 ___ 0 … ②在平面直角坐标系中作出函数的图象； (2)观察函数图象，写出关于这个函数的两条性质； (3)进一步探究函数图象发现： ①方程有______个解； ②若关于x的方程无解，则a的取值范围是______． 针对训练1 【变式1-1】如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象分别与x轴、y轴交于点A，B，点C是x轴上一动点（不与点O，A重合），连结BC，作，且，过点D作轴，垂足为点E． (1)求点A，B的坐标． (2)若点C在线段上，连结，猜想的形状，并证明结论． (3)若点C在x轴上，点D在x轴下方，是以为底边的等腰三角形，求点D的坐标． 【变式1-2】如图，在平面直角坐标系中，直线的解析式为，它与坐标轴分别交于、两点，已知点的纵坐标为． (1)求出A点的坐标． (2)在第一象限的角平分线上是否存在点使得？若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由． (3)点P为y轴上一点，连结AP，若，求点P的坐标． 【变式1-3】已知直线与直线交于点． (1)求的坐标； (2)若直线与轴交于点，直线与轴交于点，求的面积． 【典例剖析2】 【考点二 已知直线与坐标轴的交点求方程的解】 【典例2-1】已知，一次函数（，k，b为常数）的图象如图1，在图2中正比例函数（，m是常数）的图象与一次函数的图象交于点， (1)观察图象（图1），写出方程 的解和不等式的解集．    (2)观察图象（图2），把不等式组：中两个不等式的解集表示在同一数轴上，并最终确定该不等式组的解集．    【典例2-2】设两个不同的一次函数，（k，b是常数，且）． (1)若函数的图象经过点，函数的图象经过点，求证：． (2)当时，求x的取值范围． 针对训练2 【变式2-1】数形结合是解决数学问题的一种重要的思想方法，借助图的直观性，可以帮助我们理解数学问题．如图1，已知一次函数（k、b为常数，且）的图象． (1)方程的解为______，不等式的解集为______； (2)若正比例函数（m为常数，且）与一次函数相交于点P（如图2），则不等式组的解集为______； (3)比较与的大小（根据图象直接写出结果）． 【变式2-2】在图的坐标系中，画出函数的图像，并结合图像求： (1)方程的解； (2)不等式的解集． 【变式2-3】已知一次函数（k、b为常数，且）的图象（如图1）． (1)方程的解为___________，不等式的解集为___________； (2)正比例函数（m为常数，且）与一次函数相交于点P（如图2），则不等式的解集为___________；不等式组的解集为_______