复习培优——数列专练-2023届高三数学一轮复习

高三数学一轮复习培优——数列专练 1．记为数列的前项和，已知 1)证明：是等差数列； 2)若成等比数列，求的最小值． 2. 已知数列中，，，前项和为，若（，且）. （1）求数列通项公式； （2）记，求数列的前项和. 3.已知数列的前n项和，且. （1）求证：是等比数列； （2）在和之间插入n个数，使这个数成等差数列，记插入的n个数的和为，求. 4.已知是数列的前项和，且． （1）求； （2）求数列的前项和为． 5.已知是公差不为零的等差数列的前项和，，. (1)求数列的通项公式； (2)设数列，数列化的前项和为 6.在数列中，，数列的前项和满足． (1)求数列的通项公式； (2)若，求数列的前项和． 学科网（北京）股份有限公司 $ 高三数学一轮复习培优——数列专练 1．记为数列的前项和，已知 1)证明：是等差数列； 2)若成等比数列，求的最小值． 【解析】(1)由已知① ② 由①-②，得即 ，且 是以2为公差的等差数列． (2)由(1)可得， 成等比数列， 即，解得 当且仅当，即时，的最小值为-13 2. 已知数列中，，，前项和为，若（，且）. （1）求数列通项公式； （2）记，求数列的前项和. 【详解】（1）数列中，（，且）①， 又（，且）②， 可得：， 则数列是以为首项，公差为1的等差数列， 则，则， 当时，，也符合该式，则. （2）由（1）的结论得，，则； 则，∴， 两式错位相减可得： ，∴. 3.已知数列的前n项和，且. （1）求证：是等比数列； （2）在和之间插入n个数，使这个数成等差数列，记插入的n个数的和为，求. 【答案】(1)证明见解析；(2) 解：(1) 当时，，， ——①，——② 由②①得：，， 是一个以公比为，首项为的等比数列. (2)由(1)可得且， 记在和之间插入的这个数为：， 又成等差数列， 4.已知是数列的前项和，且． （1）求； （2）求数列的前项和为． 【答案】（1）；（2）. （1）由，可得，时，， 对也成立，可得； （2）当时，，即有． 当时，，， 即有． 5.已知是公差不为零的等差数列的前项和，，. (1)求数列的通项公式； (2)设数列，数列化的前项和为 【答案】(1)(2) (1)公差不为零的等差数列，由， ，解得. 又，可得， 所以数列是以1为首项和公差的等差数列， 所以. (2)解：由（1）可知， ， 6.在数列中，，数列的前项和满足． (1)求数列的通项公式； (2)若，求数列的前项和． 【答案】(1)(2) (1)因为，所以． 所以当时，． 两式相减，得， 即． 所以． 相减得， 即． 所以数列是等差数列． 当n＝1时，，解得． 所以公差． 所以． (2)， 当n为奇数时，； 当n为偶数时，． 综上所述， 学科网（北京）股份有限公司 $